{l}{y=x+3/2+3}{y=2x+10} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x + 3 } { 2 } + 3 } \\ { y = 2 x + 10 } \end{array} \right.$$

y, x માટે ઉકેલો

$$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3.666666667$$

$$y = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. \frac{1}{2}x+\frac{3}{2} મેળવવા માટે x+3 ની દરેક ટર્મનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+3$$

\frac{9}{2}મેળવવા માટે \frac{3}{2} અને 3 ને ઍડ કરો.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, y-2x=10 માં y માટે \frac{9+x}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}-2x=10$$

-2x માં \frac{x}{2} ઍડ કરો.

$$-\frac{3}{2}x+\frac{9}{2}=10$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{9}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{3}{2}x=\frac{11}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{3}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x=-\frac{11}{3}$$

y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}માં x માટે -\frac{11}{3} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=\frac{1}{2}\left(-\frac{11}{3}\right)+\frac{9}{2}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{1}{2} નો -\frac{11}{3} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$y=-\frac{11}{6}+\frac{9}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{11}{6} માં \frac{9}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$y=\frac{8}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=\frac{8}{3},x=-\frac{11}{3}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. \frac{1}{2}x+\frac{3}{2} મેળવવા માટે x+3 ની દરેક ટર્મનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+3$$

\frac{9}{2}મેળવવા માટે \frac{3}{2} અને 3 ને ઍડ કરો.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$$

બન્ને બાજુથી \frac{1}{2}x ઘટાડો.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2}$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$y-2x=10$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2},y-2x=10$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\times \frac{9}{2}-\frac{1}{3}\times 10\\\frac{2}{3}\times \frac{9}{2}-\frac{2}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\-\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=\frac{8}{3},x=-\frac{11}{3}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. \frac{1}{2}x+\frac{3}{2} મેળવવા માટે x+3 ની દરેક ટર્મનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+3$$

\frac{9}{2}મેળવવા માટે \frac{3}{2} અને 3 ને ઍડ કરો.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$$

બન્ને બાજુથી \frac{1}{2}x ઘટાડો.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2}$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$y-2x=10$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2},y-2x=10$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2}માંથી y-2x=10 ને ઘટાડો.

$$y-y-\frac{1}{2}x+2x=\frac{9}{2}-10$$

-y માં y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો y અને -y ને વિભાજિત કરો.

$$-\frac{1}{2}x+2x=\frac{9}{2}-10$$

2x માં -\frac{x}{2} ઍડ કરો.

$$\frac{3}{2}x=\frac{9}{2}-10$$

-10 માં \frac{9}{2} ઍડ કરો.

$$\frac{3}{2}x=-\frac{11}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{3}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x=-\frac{11}{3}$$

y-2x=10માં x માટે -\frac{11}{3} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y-2\left(-\frac{11}{3}\right)=10$$

-\frac{11}{3} ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y+\frac{22}{3}=10$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{22}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$y=\frac{8}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=\frac{8}{3},x=-\frac{11}{3}$$