{l}{y=1/3x+1}{y=4/3x-2} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 1 } \\ { y = \frac { 4 } { 3 } x - 2 } \end{array} \right.$$

y, x માટે ઉકેલો

$$x=3$$

$$y=2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી \frac{1}{3}x ઘટાડો.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી \frac{4}{3}x ઘટાડો.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને y ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને y માટે ઉકેલો.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{x}{3} ઍડ કરો.

$$y=\frac{1}{3}x+1$$

અન્ય સમીકરણ, y-\frac{4}{3}x=-2 માં y માટે \frac{x}{3}+1 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\frac{1}{3}x+1-\frac{4}{3}x=-2$$

-\frac{4x}{3} માં \frac{x}{3} ઍડ કરો.

$$-x+1=-2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 1 નો ઘટાડો કરો.

$$-x=-3$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=3$$

y=\frac{1}{3}x+1માં x માટે 3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=\frac{1}{3}\times 3+1$$

3 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=1+1$$

1 માં 1 ઍડ કરો.

$$y=2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=2,x=3$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી \frac{1}{3}x ઘટાડો.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી \frac{4}{3}x ઘટાડો.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{4}{3}}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\left(-2\right)\\1-\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=2,x=3$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી \frac{1}{3}x ઘટાડો.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી \frac{4}{3}x ઘટાડો.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી y-\frac{1}{3}x=1માંથી y-\frac{4}{3}x=-2 ને ઘટાડો.

$$y-y-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x=1+2$$

-y માં y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો y અને -y ને વિભાજિત કરો.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x=1+2$$

\frac{4x}{3} માં -\frac{x}{3} ઍડ કરો.

$$x=1+2$$

2 માં 1 ઍડ કરો.

$$x=3$$

y-\frac{4}{3}x=-2માં x માટે 3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y-\frac{4}{3}\times 3=-2$$

3 ને -\frac{4}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$y-4=-2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 4 ઍડ કરો.

$$y=2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=2,x=3$$