{l}{y+4x-6=0}{3x-y=7} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { y + 4 x - 6 = 0 } \\ { 3 x - y = 7 } \end{array} \right.$$

y, x માટે ઉકેલો

$$x = \frac{13}{7} = 1\frac{6}{7} \approx 1.857142857$$

$$y = -\frac{10}{7} = -1\frac{3}{7} \approx -1.428571429$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને y ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને y માટે ઉકેલો.

$$y+4x-6=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 6 ઍડ કરો.

$$y+4x=6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 4x નો ઘટાડો કરો.

$$y=-4x+6$$

અન્ય સમીકરણ, -y+3x=7 માં y માટે -4x+6 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\left(-4x+6\right)+3x=7$$

-4x+6 ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$4x-6+3x=7$$

3x માં 4x ઍડ કરો.

$$7x-6=7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 6 ઍડ કરો.

$$7x=13$$

બન્ને બાજુનો 7 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{13}{7}$$

y=-4x+6માં x માટે \frac{13}{7} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=-4\times \frac{13}{7}+6$$

\frac{13}{7} ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=-\frac{52}{7}+6$$

-\frac{52}{7} માં 6 ઍડ કરો.

$$y=-\frac{10}{7}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4\left(-1\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-4\left(-1\right)}&\frac{1}{3-4\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{4}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 6-\frac{4}{7}\times 7\\\frac{1}{7}\times 6+\frac{1}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}\\\frac{13}{7}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

y અને -y ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-y-4x-\left(-6\right)=0,-y+3x=7$$

સરળ બનાવો.

$$-y-4x+6=0,-y+3x=7$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -y-4x+6=0માંથી -y+3x=7 ને ઘટાડો.

$$-y+y-4x-3x+6=-7$$

y માં -y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -y અને y ને વિભાજિત કરો.

$$-4x-3x+6=-7$$

-3x માં -4x ઍડ કરો.

$$-7x+6=-7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 6 નો ઘટાડો કરો.

$$-7x=-13$$

બન્ને બાજુનો -7 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{13}{7}$$

-y+3x=7માં x માટે \frac{13}{7} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$-y+3\times \frac{13}{7}=7$$

\frac{13}{7} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-y+\frac{39}{7}=7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{39}{7} નો ઘટાડો કરો.

$$-y=\frac{10}{7}$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{10}{7}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$