{l}{x^2+y^2=R^2}{y=mx} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = R ^ { 2 } } \\ { y = m x } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{R}{\sqrt{m^{2}+1}}\text{, }y=-\frac{Rm}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

$$x=\frac{R}{\sqrt{m^{2}+1}}\text{, }y=\frac{Rm}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

પ્રતિસ્થાપન અને ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પગલા

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી mx ઘટાડો.

$$y-mx=0$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$y+\left(-m\right)x=0,x^{2}+y^{2}=R^{2}$$

બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ y આઇસોલેટ કરીને y માટે y+\left(-m\right)x=0 ને ઉકેલો.

$$y+\left(-m\right)x=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \left(-m\right)x નો ઘટાડો કરો.

$$y=mx$$

અન્ય સમીકરણ, x^{2}+y^{2}=R^{2} માં y માટે mx નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x^{2}+\left(mx\right)^{2}=R^{2}$$

વર્ગ mx.

$$x^{2}+m^{2}x^{2}=R^{2}$$

m^{2}x^{2} માં x^{2} ઍડ કરો.

$$\left(m^{2}+1\right)x^{2}=R^{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી R^{2} નો ઘટાડો કરો.

$$\left(m^{2}+1\right)x^{2}-R^{2}=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 1+1m^{2} ને, b માટે 1\times 0\times 2m ને, અને c માટે -R^{2} ને બદલીને મૂકો.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\left(m^{2}+1\right)\left(-R^{2}\right)}}{2\left(m^{2}+1\right)}$$

વર્ગ 1\times 0\times 2m.

$$x=\frac{0±\sqrt{-4\left(m^{2}+1\right)\left(-R^{2}\right)}}{2\left(m^{2}+1\right)}$$

1+1m^{2} ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{0±\sqrt{\left(-4m^{2}-4\right)\left(-R^{2}\right)}}{2\left(m^{2}+1\right)}$$

-R^{2} ને -4-4m^{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{0±\sqrt{4R^{2}\left(m^{2}+1\right)}}{2\left(m^{2}+1\right)}$$

4\left(1+m^{2}\right)R^{2} નો વર્ગ મૂળ લો.

$$x=\frac{0±2|R|\sqrt{m^{2}+1}}{2\left(m^{2}+1\right)}$$

1+1m^{2} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{0±2|R|\sqrt{m^{2}+1}}{2m^{2}+2}$$

હવે x=\frac{0±2|R|\sqrt{m^{2}+1}}{2m^{2}+2} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય.

$$x=\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

હવે x=\frac{0±2|R|\sqrt{m^{2}+1}}{2m^{2}+2} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય.

$$x=-\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

x માટે બે ઉકેલ છે: \frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}} અને -\frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}}. y માટે સંબંધિત ઉકેલ શોધવા માટે સમીકરણ y=mx માં x માટે \frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}} નું પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$y=m\times \frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

\frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}} ને m વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}m$$

હવે સમીકરણ y=mx માં -\frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}} માટે x ને પ્રતિસ્થાપન કરો અને y માટે સંબંધિત ઉકેલ શોધવા માટે ઉકેલો જે બન્ને સમીકરણોને સંતુષ્ઠ કરે છે.

$$y=m\left(-\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}\right)$$

-\frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}} ને m વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\left(-\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}\right)m$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}m,x=\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}\text{ or }y=\left(-\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}\right)m,x=-\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

x, y માટે ઉકેલો (જટિલ સમાધાન)

$$\left\{\begin{matrix}x=\left(m^{2}+1\right)^{-\frac{1}{2}}R\text{, }y=\left(m^{2}+1\right)^{-\frac{1}{2}}Rm\text{; }x=-\left(m^{2}+1\right)^{-\frac{1}{2}}R\text{, }y=-\left(m^{2}+1\right)^{-\frac{1}{2}}Rm\text{, }&m\neq -i\text{ and }m\neq i\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=mx\text{, }&\left(m=i\text{ or }m=-i\right)\text{ and }R=0\end{matrix}\right.$$