{l}{x+y=74}{40x+60y=3660} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 74 } \\ { 40 x + 60 y = 3660 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=39$$

$$y=35$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x+y=74$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$x=-y+74$$

અન્ય સમીકરણ, 40x+60y=3660 માં x માટે -y+74 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$40\left(-y+74\right)+60y=3660$$

-y+74 ને 40 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-40y+2960+60y=3660$$

60y માં -40y ઍડ કરો.

$$20y+2960=3660$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2960 નો ઘટાડો કરો.

$$20y=700$$

બન્ને બાજુનો 20 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=35$$

x=-y+74માં y માટે 35 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-35+74$$

-35 માં 74 ઍડ કરો.

$$x=39$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=39,y=35$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{60-40}&-\frac{1}{60-40}\\-\frac{40}{60-40}&\frac{1}{60-40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-\frac{1}{20}\\-2&\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 74-\frac{1}{20}\times 3660\\-2\times 74+\frac{1}{20}\times 3660\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\35\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=39,y=35$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

x અને 40x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 40 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$40x+40y=40\times 74,40x+60y=3660$$

સરળ બનાવો.

$$40x+40y=2960,40x+60y=3660$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 40x+40y=2960માંથી 40x+60y=3660 ને ઘટાડો.

$$40x-40x+40y-60y=2960-3660$$

-40x માં 40x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 40x અને -40x ને વિભાજિત કરો.

$$40y-60y=2960-3660$$

-60y માં 40y ઍડ કરો.

$$-20y=2960-3660$$

-3660 માં 2960 ઍડ કરો.

$$-20y=-700$$

બન્ને બાજુનો -20 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=35$$

40x+60y=3660માં y માટે 35 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$40x+60\times 35=3660$$

35 ને 60 વાર ગુણાકાર કરો.

$$40x+2100=3660$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2100 નો ઘટાડો કરો.

$$40x=1560$$

બન્ને બાજુનો 40 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=39$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=39,y=35$$