{l}{x+y=144}{10x+8y=1192} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 144 } \\ { 10 x + 8 y = 1192 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=20$$

$$y=124$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x+y=144,10x+8y=1192$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x+y=144$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$x=-y+144$$

અન્ય સમીકરણ, 10x+8y=1192 માં x માટે -y+144 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$10\left(-y+144\right)+8y=1192$$

-y+144 ને 10 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-10y+1440+8y=1192$$

8y માં -10y ઍડ કરો.

$$-2y+1440=1192$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 1440 નો ઘટાડો કરો.

$$-2y=-248$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=124$$

x=-y+144માં y માટે 124 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-124+144$$

-124 માં 144 ઍડ કરો.

$$x=20$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=20,y=124$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x+y=144,10x+8y=1192$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-10}&-\frac{1}{8-10}\\-\frac{10}{8-10}&\frac{1}{8-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4&\frac{1}{2}\\5&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\times 144+\frac{1}{2}\times 1192\\5\times 144-\frac{1}{2}\times 1192\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\124\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=20,y=124$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x+y=144,10x+8y=1192$$

x અને 10x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 10 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$10x+10y=10\times 144,10x+8y=1192$$

સરળ બનાવો.

$$10x+10y=1440,10x+8y=1192$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 10x+10y=1440માંથી 10x+8y=1192 ને ઘટાડો.

$$10x-10x+10y-8y=1440-1192$$

-10x માં 10x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 10x અને -10x ને વિભાજિત કરો.

$$10y-8y=1440-1192$$

-8y માં 10y ઍડ કરો.

$$2y=1440-1192$$

-1192 માં 1440 ઍડ કરો.

$$2y=248$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=124$$

10x+8y=1192માં y માટે 124 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$10x+8\times 124=1192$$

124 ને 8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$10x+992=1192$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 992 નો ઘટાડો કરો.

$$10x=200$$

બન્ને બાજુનો 10 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=20$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=20,y=124$$