{l}{x+y=100}{60x+70y=6300} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 100 } \\ { 60 x + 70 y = 6300 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=70$$

$$y=30$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x+y=100,60x+70y=6300$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x+y=100$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$x=-y+100$$

અન્ય સમીકરણ, 60x+70y=6300 માં x માટે -y+100 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$60\left(-y+100\right)+70y=6300$$

-y+100 ને 60 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-60y+6000+70y=6300$$

70y માં -60y ઍડ કરો.

$$10y+6000=6300$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 6000 નો ઘટાડો કરો.

$$10y=300$$

બન્ને બાજુનો 10 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=30$$

x=-y+100માં y માટે 30 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-30+100$$

-30 માં 100 ઍડ કરો.

$$x=70$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=70,y=30$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x+y=100,60x+70y=6300$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{70}{70-60}&-\frac{1}{70-60}\\-\frac{60}{70-60}&\frac{1}{70-60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&-\frac{1}{10}\\-6&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 100-\frac{1}{10}\times 6300\\-6\times 100+\frac{1}{10}\times 6300\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}70\\30\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=70,y=30$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x+y=100,60x+70y=6300$$

x અને 60x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 60 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$60x+60y=60\times 100,60x+70y=6300$$

સરળ બનાવો.

$$60x+60y=6000,60x+70y=6300$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 60x+60y=6000માંથી 60x+70y=6300 ને ઘટાડો.

$$60x-60x+60y-70y=6000-6300$$

-60x માં 60x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 60x અને -60x ને વિભાજિત કરો.

$$60y-70y=6000-6300$$

-70y માં 60y ઍડ કરો.

$$-10y=6000-6300$$

-6300 માં 6000 ઍડ કરો.

$$-10y=-300$$

બન્ને બાજુનો -10 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=30$$

60x+70y=6300માં y માટે 30 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$60x+70\times 30=6300$$

30 ને 70 વાર ગુણાકાર કરો.

$$60x+2100=6300$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2100 નો ઘટાડો કરો.

$$60x=4200$$

બન્ને બાજુનો 60 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=70$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=70,y=30$$