{l}{x+y=10}{y+2x=30} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 10 } \\ { y + 2 x = 30 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=20$$

$$y=-10$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x+y=10,2x+y=30$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x+y=10$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$x=-y+10$$

અન્ય સમીકરણ, 2x+y=30 માં x માટે -y+10 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(-y+10\right)+y=30$$

-y+10 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-2y+20+y=30$$

y માં -2y ઍડ કરો.

$$-y+20=30$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 20 નો ઘટાડો કરો.

$$-y=10$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-10$$

x=-y+10માં y માટે -10 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\left(-10\right)+10$$

-10 ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=10+10$$

10 માં 10 ઍડ કરો.

$$x=20$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=20,y=-10$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x+y=10,2x+y=30$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10+30\\2\times 10-30\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-10\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=20,y=-10$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x+y=10,2x+y=30$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી x+y=10માંથી 2x+y=30 ને ઘટાડો.

$$x-2x+y-y=10-30$$

-y માં y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો y અને -y ને વિભાજિત કરો.

$$x-2x=10-30$$

-2x માં x ઍડ કરો.

$$-x=10-30$$

-30 માં 10 ઍડ કરો.

$$-x=-20$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=20$$

2x+y=30માં x માટે 20 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$2\times 20+y=30$$

20 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$40+y=30$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 40 નો ઘટાડો કરો.

$$y=-10$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=20,y=-10$$