{l}{x+y=-4}{y=5x+2} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = - 4 } \\ { y = 5 x + 2 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-1$$

$$y=-3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 5x ઘટાડો.

$$y-5x=2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x+y=-4,-5x+y=2$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x+y=-4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$x=-y-4$$

અન્ય સમીકરણ, -5x+y=2 માં x માટે -y-4 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-5\left(-y-4\right)+y=2$$

-y-4 ને -5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$5y+20+y=2$$

y માં 5y ઍડ કરો.

$$6y+20=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 20 નો ઘટાડો કરો.

$$6y=-18$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-3$$

x=-y-4માં y માટે -3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\left(-3\right)-4$$

-3 ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=3-4$$

3 માં -4 ઍડ કરો.

$$x=-1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-1,y=-3$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 5x ઘટાડો.

$$y-5x=2$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x+y=-4,-5x+y=2$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-5\right)}&-\frac{1}{1-\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{1-\left(-5\right)}&\frac{1}{1-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-4\right)-\frac{1}{6}\times 2\\\frac{5}{6}\left(-4\right)+\frac{1}{6}\times 2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-1,y=-3$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 5x ઘટાડો.

$$y-5x=2$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x+y=-4,-5x+y=2$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી x+y=-4માંથી -5x+y=2 ને ઘટાડો.

$$x+5x+y-y=-4-2$$

-y માં y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો y અને -y ને વિભાજિત કરો.

$$x+5x=-4-2$$

5x માં x ઍડ કરો.

$$6x=-4-2$$

-2 માં -4 ઍડ કરો.

$$6x=-6$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-1$$

-5x+y=2માં x માટે -1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$-5\left(-1\right)+y=2$$

-1 ને -5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$5+y=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 5 નો ઘટાડો કરો.

$$y=-3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-1,y=-3$$