{l}{x+4y=41}{4x+5y=65} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { x + 4 y = 41 } \\ { 4 x + 5 y = 65 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=5$$

$$y=9$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x+4y=41,4x+5y=65$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x+4y=41$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 4y નો ઘટાડો કરો.

$$x=-4y+41$$

અન્ય સમીકરણ, 4x+5y=65 માં x માટે -4y+41 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4\left(-4y+41\right)+5y=65$$

-4y+41 ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-16y+164+5y=65$$

5y માં -16y ઍડ કરો.

$$-11y+164=65$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 164 નો ઘટાડો કરો.

$$-11y=-99$$

બન્ને બાજુનો -11 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=9$$

x=-4y+41માં y માટે 9 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-4\times 9+41$$

9 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-36+41$$

-36 માં 41 ઍડ કરો.

$$x=5$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=5,y=9$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x+4y=41,4x+5y=65$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-4\times 4}&-\frac{4}{5-4\times 4}\\-\frac{4}{5-4\times 4}&\frac{1}{5-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}\times 41+\frac{4}{11}\times 65\\\frac{4}{11}\times 41-\frac{1}{11}\times 65\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=5,y=9$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x+4y=41,4x+5y=65$$

x અને 4x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$4x+4\times 4y=4\times 41,4x+5y=65$$

સરળ બનાવો.

$$4x+16y=164,4x+5y=65$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 4x+16y=164માંથી 4x+5y=65 ને ઘટાડો.

$$4x-4x+16y-5y=164-65$$

-4x માં 4x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 4x અને -4x ને વિભાજિત કરો.

$$16y-5y=164-65$$

-5y માં 16y ઍડ કરો.

$$11y=164-65$$

-65 માં 164 ઍડ કરો.

$$11y=99$$

બન્ને બાજુનો 11 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=9$$

4x+5y=65માં y માટે 9 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$4x+5\times 9=65$$

9 ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$4x+45=65$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 45 નો ઘટાડો કરો.

$$4x=20$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=5$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=5,y=9$$