{l}{x+4y=2}{-x-3y=3} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { x + 4 y = 2 } \\ { - x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-18$$

$$y=5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x+4y=2,-x-3y=3$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x+4y=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 4y નો ઘટાડો કરો.

$$x=-4y+2$$

અન્ય સમીકરણ, -x-3y=3 માં x માટે -4y+2 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\left(-4y+2\right)-3y=3$$

-4y+2 ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$4y-2-3y=3$$

-3y માં 4y ઍડ કરો.

$$y-2=3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2 ઍડ કરો.

$$y=5$$

x=-4y+2માં y માટે 5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-4\times 5+2$$

5 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-20+2$$

-20 માં 2 ઍડ કરો.

$$x=-18$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-18,y=5$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x+4y=2,-x-3y=3$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&4\\-1&-3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-4\left(-1\right)}&-\frac{4}{-3-4\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-3-4\left(-1\right)}&\frac{1}{-3-4\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 2-4\times 3\\2+3\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-18,y=5$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x+4y=2,-x-3y=3$$

x અને -x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-x-4y=-2,-x-3y=3$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -x-4y=-2માંથી -x-3y=3 ને ઘટાડો.

$$-x+x-4y+3y=-2-3$$

x માં -x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -x અને x ને વિભાજિત કરો.

$$-4y+3y=-2-3$$

3y માં -4y ઍડ કરો.

$$-y=-2-3$$

-3 માં -2 ઍડ કરો.

$$-y=-5$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=5$$

-x-3y=3માં y માટે 5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-x-3\times 5=3$$

5 ને -3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-x-15=3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 15 ઍડ કરો.

$$-x=18$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-18$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-18,y=5$$