{l}{x+3y=4}{4x+6y=7} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 4 } \\ { 4 x + 6 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x+3y=4,4x+6y=7$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x+3y=4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3y નો ઘટાડો કરો.

$$x=-3y+4$$

અન્ય સમીકરણ, 4x+6y=7 માં x માટે -3y+4 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4\left(-3y+4\right)+6y=7$$

-3y+4 ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-12y+16+6y=7$$

6y માં -12y ઍડ કરો.

$$-6y+16=7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 16 નો ઘટાડો કરો.

$$-6y=-9$$

બન્ને બાજુનો -6 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{3}{2}$$

x=-3y+4માં y માટે \frac{3}{2} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-3\times \frac{3}{2}+4$$

\frac{3}{2} ને -3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{9}{2}+4$$

-\frac{9}{2} માં 4 ઍડ કરો.

$$x=-\frac{1}{2}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{2}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x+3y=4,4x+6y=7$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6-3\times 4}&-\frac{3}{6-3\times 4}\\-\frac{4}{6-3\times 4}&\frac{1}{6-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{1}{2}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4+\frac{1}{2}\times 7\\\frac{2}{3}\times 4-\frac{1}{6}\times 7\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{2}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x+3y=4,4x+6y=7$$

x અને 4x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$4x+4\times 3y=4\times 4,4x+6y=7$$

સરળ બનાવો.

$$4x+12y=16,4x+6y=7$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 4x+12y=16માંથી 4x+6y=7 ને ઘટાડો.

$$4x-4x+12y-6y=16-7$$

-4x માં 4x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 4x અને -4x ને વિભાજિત કરો.

$$12y-6y=16-7$$

-6y માં 12y ઍડ કરો.

$$6y=16-7$$

-7 માં 16 ઍડ કરો.

$$6y=9$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{3}{2}$$

4x+6y=7માં y માટે \frac{3}{2} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$4x+6\times \frac{3}{2}=7$$

\frac{3}{2} ને 6 વાર ગુણાકાર કરો.

$$4x+9=7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 9 નો ઘટાડો કરો.

$$4x=-2$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{2}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{2}$$