{l}{x+2y=8}{x-3y=9} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 8 } \\ { x - 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{42}{5} = 8\frac{2}{5} = 8.4$$

$$y=-\frac{1}{5}=-0.2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x+2y=8,x-3y=9$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x+2y=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2y નો ઘટાડો કરો.

$$x=-2y+8$$

અન્ય સમીકરણ, x-3y=9 માં x માટે -2y+8 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-2y+8-3y=9$$

-3y માં -2y ઍડ કરો.

$$-5y+8=9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 8 નો ઘટાડો કરો.

$$-5y=1$$

બન્ને બાજુનો -5 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{1}{5}$$

x=-2y+8માં y માટે -\frac{1}{5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-2\left(-\frac{1}{5}\right)+8$$

-\frac{1}{5} ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{2}{5}+8$$

\frac{2}{5} માં 8 ઍડ કરો.

$$x=\frac{42}{5}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{42}{5},y=-\frac{1}{5}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x+2y=8,x-3y=9$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2}&-\frac{2}{-3-2}\\-\frac{1}{-3-2}&\frac{1}{-3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 9\\\frac{1}{5}\times 8-\frac{1}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{5}\\-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{42}{5},y=-\frac{1}{5}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x+2y=8,x-3y=9$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી x+2y=8માંથી x-3y=9 ને ઘટાડો.

$$x-x+2y+3y=8-9$$

-x માં x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો x અને -x ને વિભાજિત કરો.

$$2y+3y=8-9$$

3y માં 2y ઍડ કરો.

$$5y=8-9$$

-9 માં 8 ઍડ કરો.

$$5y=-1$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{1}{5}$$

x-3y=9માં y માટે -\frac{1}{5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x-3\left(-\frac{1}{5}\right)=9$$

-\frac{1}{5} ને -3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x+\frac{3}{5}=9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{3}{5} નો ઘટાડો કરો.

$$x=\frac{42}{5}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{42}{5},y=-\frac{1}{5}$$