{l}{p+2q=4}{-3p+4q=18} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { p + 2 q = 4 } \\ { - 3 p + 4 q = 18 } \end{array} \right.$$

p, q માટે ઉકેલો

$$p=-2$$

$$q=3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને p ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને p માટે ઉકેલો.

$$p+2q=4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2q નો ઘટાડો કરો.

$$p=-2q+4$$

અન્ય સમીકરણ, -3p+4q=18 માં p માટે -2q+4 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-3\left(-2q+4\right)+4q=18$$

-2q+4 ને -3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$6q-12+4q=18$$

4q માં 6q ઍડ કરો.

$$10q-12=18$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 12 ઍડ કરો.

$$10q=30$$

બન્ને બાજુનો 10 થી ભાગાકાર કરો.

$$q=3$$

p=-2q+4માં q માટે 3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું p માટે ઉકેલો.

$$p=-2\times 3+4$$

3 ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$p=-6+4$$

-6 માં 4 ઍડ કરો.

$$p=-2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$p=-2,q=3$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{4-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4-2\left(-3\right)}&\frac{1}{4-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 4-\frac{1}{5}\times 18\\\frac{3}{10}\times 4+\frac{1}{10}\times 18\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો p અને q ને કાઢો.

$$p=-2,q=3$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

p અને -3p ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-3p-3\times 2q=-3\times 4,-3p+4q=18$$

સરળ બનાવો.

$$-3p-6q=-12,-3p+4q=18$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -3p-6q=-12માંથી -3p+4q=18 ને ઘટાડો.

$$-3p+3p-6q-4q=-12-18$$

3p માં -3p ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -3p અને 3p ને વિભાજિત કરો.

$$-6q-4q=-12-18$$

-4q માં -6q ઍડ કરો.

$$-10q=-12-18$$

-18 માં -12 ઍડ કરો.

$$-10q=-30$$

બન્ને બાજુનો -10 થી ભાગાકાર કરો.

$$q=3$$

-3p+4q=18માં q માટે 3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું p માટે ઉકેલો.

$$-3p+4\times 3=18$$

3 ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-3p+12=18$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 12 નો ઘટાડો કરો.

$$-3p=6$$

બન્ને બાજુનો -3 થી ભાગાકાર કરો.

$$p=-2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$p=-2,q=3$$