{l}{mx-y-3m+1=0}{x+my-3m-1=0} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { m x - y - 3 m + 1 = 0 } \\ { x + m y - 3 m - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો (જટિલ સમાધાન)

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

$$m\neq -i\text{ and }m\neq i$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$mx-y+1-3m=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી -3m+1 નો ઘટાડો કરો.

$$mx-y=3m-1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ y ઍડ કરો.

$$mx=y+3m-1$$

બન્ને બાજુનો m થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{m}\left(y+3m-1\right)$$

y+3m-1 ને \frac{1}{m} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}$$

અન્ય સમીકરણ, x+my-3m-1=0 માં x માટે \frac{y-1+3m}{m} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}+my-3m-1=0$$

my માં \frac{y}{m} ઍડ કરો.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y+3-\frac{1}{m}-3m-1=0$$

-3m-1 માં 3-\frac{1}{m} ઍડ કરો.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y-3m+2-\frac{1}{m}=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2-\frac{1}{m}-3m નો ઘટાડો કરો.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y=3m-2+\frac{1}{m}$$

બન્ને બાજુનો m+\frac{1}{m} થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}માં y માટે \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{1}{m}\times \frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}+3-\frac{1}{m}$$

\frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1} ને \frac{1}{m} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{3m^{2}-2m+1}{m\left(m^{2}+1\right)}+3-\frac{1}{m}$$

\frac{3m^{2}+1-2m}{m\left(m^{2}+1\right)} માં 3-\frac{1}{m} ઍડ કરો.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{mm-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{mm-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{mm-\left(-1\right)}&\frac{m}{mm-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}&\frac{1}{m^{2}+1}\\-\frac{1}{m^{2}+1}&\frac{m}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m-1\right)+\frac{1}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\\\left(-\frac{1}{m^{2}+1}\right)\left(3m-1\right)+\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}\\\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

mx અને x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો m સાથે ગુણાકાર કરો.

$$mx-y+1-3m=0,mx+mmy+m\left(-3m-1\right)=0$$

સરળ બનાવો.

$$mx-y+1-3m=0,mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી mx-y+1-3m=0માંથી mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0 ને ઘટાડો.

$$mx+\left(-m\right)x-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

-mx માં mx ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો mx અને -mx ને વિભાજિત કરો.

$$-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

-m^{2}y માં -y ઍડ કરો.

$$\left(-m^{2}-1\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

m\left(3m+1\right) માં -3m+1 ઍડ કરો.

$$\left(-m^{2}-1\right)y+3m^{2}-2m+1=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી -2m+1+3m^{2} નો ઘટાડો કરો.

$$\left(-m^{2}-1\right)y=-3m^{2}+2m-1$$

બન્ને બાજુનો -1-m^{2} થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$

x+my-3m-1=0માં y માટે -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x+m\left(-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}\right)-3m-1=0$$

-\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}} ને m વાર ગુણાકાર કરો.

$$x-\frac{m\left(-3m^{2}+2m-1\right)}{m^{2}+1}-3m-1=0$$

-3m-1 માં -\frac{m\left(2m-1-3m^{2}\right)}{1+m^{2}} ઍડ કરો.

$$x-\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)}=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{2m+3m^{2}+1}{\left(m+i\right)\left(m-i\right)} ઍડ કરો.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)},y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$mx-y+1-3m=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી -3m+1 નો ઘટાડો કરો.

$$mx-y=3m-1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ y ઍડ કરો.

$$mx=y+3m-1$$

બન્ને બાજુનો m થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{m}\left(y+3m-1\right)$$

y+3m-1 ને \frac{1}{m} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}$$

અન્ય સમીકરણ, x+my-3m-1=0 માં x માટે \frac{y-1+3m}{m} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}+my-3m-1=0$$

my માં \frac{y}{m} ઍડ કરો.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y+3-\frac{1}{m}-3m-1=0$$

-3m-1 માં 3-\frac{1}{m} ઍડ કરો.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y-3m+2-\frac{1}{m}=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2-\frac{1}{m}-3m નો ઘટાડો કરો.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y=3m-2+\frac{1}{m}$$

બન્ને બાજુનો m+\frac{1}{m} થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}માં y માટે \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{1}{m}\times \frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}+3-\frac{1}{m}$$

\frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1} ને \frac{1}{m} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{3m^{2}-2m+1}{m\left(m^{2}+1\right)}+3-\frac{1}{m}$$

\frac{3m^{2}+1-2m}{m\left(m^{2}+1\right)} માં 3-\frac{1}{m} ઍડ કરો.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{mm-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{mm-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{mm-\left(-1\right)}&\frac{m}{mm-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}&\frac{1}{m^{2}+1}\\-\frac{1}{m^{2}+1}&\frac{m}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m-1\right)+\frac{1}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\\\left(-\frac{1}{m^{2}+1}\right)\left(3m-1\right)+\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}\\\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

mx અને x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો m સાથે ગુણાકાર કરો.

$$mx-y+1-3m=0,mx+mmy+m\left(-3m-1\right)=0$$

સરળ બનાવો.

$$mx-y+1-3m=0,mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી mx-y+1-3m=0માંથી mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0 ને ઘટાડો.

$$mx+\left(-m\right)x-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

-mx માં mx ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો mx અને -mx ને વિભાજિત કરો.

$$-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

-m^{2}y માં -y ઍડ કરો.

$$\left(-m^{2}-1\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

m\left(3m+1\right) માં -3m+1 ઍડ કરો.

$$\left(-m^{2}-1\right)y+3m^{2}-2m+1=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી -2m+1+3m^{2} નો ઘટાડો કરો.

$$\left(-m^{2}-1\right)y=-3m^{2}+2m-1$$

બન્ને બાજુનો -1-m^{2} થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$

x+my-3m-1=0માં y માટે -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x+m\left(-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}\right)-3m-1=0$$

-\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}} ને m વાર ગુણાકાર કરો.

$$x-\frac{m\left(-3m^{2}+2m-1\right)}{m^{2}+1}-3m-1=0$$

-3m-1 માં -\frac{m\left(2m-1-3m^{2}\right)}{1+m^{2}} ઍડ કરો.

$$x-\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{2m+3m^{2}+1}{1+m^{2}} ઍડ કરો.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$