{l}{f(x)=y+7}{f(y)=9x+8} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { f ( x ) = y + 7 } \\ { f ( y ) = 9 x + 8 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો (જટિલ સમાધાન)

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$f\neq -3\text{ and }f\neq 3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$fx-y=7$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 9x ઘટાડો.

$$fy-9x=8$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$fx-y=7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ y ઍડ કરો.

$$fx=y+7$$

બન્ને બાજુનો f થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

y+7 ને \frac{1}{f} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

અન્ય સમીકરણ, -9x+fy=8 માં x માટે \frac{7+y}{f} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

\frac{7+y}{f} ને -9 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

fy માં -\frac{9y}{f} ઍડ કરો.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{63}{f} ઍડ કરો.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

બન્ને બાજુનો f-\frac{9}{f} થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}માં y માટે \frac{63+8f}{f^{2}-9} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

\frac{63+8f}{f^{2}-9} ને \frac{1}{f} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

\frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)} માં \frac{7}{f} ઍડ કરો.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$fx-y=7$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 9x ઘટાડો.

$$fy-9x=8$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$fx-y=7$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 9x ઘટાડો.

$$fy-9x=8$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

fx અને -9x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -9 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો f સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

સરળ બનાવો.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી \left(-9f\right)x+9y=-63માંથી \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f ને ઘટાડો.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

9fx માં -9fx ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -9fx અને 9fx ને વિભાજિત કરો.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

-f^{2}y માં 9y ઍડ કરો.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

-8f માં -63 ઍડ કરો.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

બન્ને બાજુનો -f^{2}+9 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

-9x+fy=8માં y માટે -\frac{63+8f}{9-f^{2}} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

-\frac{63+8f}{9-f^{2}} ને f વાર ગુણાકાર કરો.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} ઍડ કરો.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

બન્ને બાજુનો -9 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$|f|\neq 3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$fx-y=7$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 9x ઘટાડો.

$$fy-9x=8$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$fx-y=7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ y ઍડ કરો.

$$fx=y+7$$

બન્ને બાજુનો f થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

y+7 ને \frac{1}{f} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

અન્ય સમીકરણ, -9x+fy=8 માં x માટે \frac{7+y}{f} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

\frac{7+y}{f} ને -9 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

fy માં -\frac{9y}{f} ઍડ કરો.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{63}{f} ઍડ કરો.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

બન્ને બાજુનો f-\frac{9}{f} થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}માં y માટે \frac{63+8f}{f^{2}-9} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

\frac{63+8f}{f^{2}-9} ને \frac{1}{f} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

\frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)} માં \frac{7}{f} ઍડ કરો.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$fx-y=7$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 9x ઘટાડો.

$$fy-9x=8$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$fx-y=7$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 9x ઘટાડો.

$$fy-9x=8$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

fx અને -9x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -9 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો f સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

સરળ બનાવો.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી \left(-9f\right)x+9y=-63માંથી \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f ને ઘટાડો.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

9fx માં -9fx ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -9fx અને 9fx ને વિભાજિત કરો.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

-f^{2}y માં 9y ઍડ કરો.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

-8f માં -63 ઍડ કરો.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

બન્ને બાજુનો -f^{2}+9 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

-9x+fy=8માં y માટે -\frac{63+8f}{9-f^{2}} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

-\frac{63+8f}{9-f^{2}} ને f વાર ગુણાકાર કરો.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} ઍડ કરો.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

બન્ને બાજુનો -9 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$