{l}{cx+y=69}{2x+y=87} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { c x + y = 69 } \\ { 2 x + y = 87 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

$$y=-\frac{3\left(46-29c\right)}{c-2}$$

$$c\neq 2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$cx+y=69$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$cx=-y+69$$

બન્ને બાજુનો c થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{c}\left(-y+69\right)$$

-y+69 ને \frac{1}{c} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}$$

અન્ય સમીકરણ, 2x+y=87 માં x માટે \frac{69-y}{c} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}\right)+y=87$$

\frac{69-y}{c} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\left(-\frac{2}{c}\right)y+\frac{138}{c}+y=87$$

y માં -\frac{2y}{c} ઍડ કરો.

$$\frac{c-2}{c}y+\frac{138}{c}=87$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{138}{c} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{c-2}{c}y=87-\frac{138}{c}$$

બન્ને બાજુનો \frac{-2+c}{c} થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}માં y માટે \frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)\times \frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}+\frac{69}{c}$$

\frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c} ને -\frac{1}{c} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{3\left(29c-46\right)}{c\left(c-2\right)}+\frac{69}{c}$$

-\frac{3\left(-46+29c\right)}{c\left(-2+c\right)} માં \frac{69}{c} ઍડ કરો.

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}&-\frac{1}{c-2}\\-\frac{2}{c-2}&\frac{c}{c-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}\times 69+\left(-\frac{1}{c-2}\right)\times 87\\\left(-\frac{2}{c-2}\right)\times 69+\frac{c}{c-2}\times 87\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{c-2}\\\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી cx+y=69માંથી 2x+y=87 ને ઘટાડો.

$$cx-2x+y-y=69-87$$

-y માં y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો y અને -y ને વિભાજિત કરો.

$$cx-2x=69-87$$

-2x માં cx ઍડ કરો.

$$\left(c-2\right)x=69-87$$

-87 માં 69 ઍડ કરો.

$$\left(c-2\right)x=-18$$

બન્ને બાજુનો c-2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

2x+y=87માં x માટે -\frac{18}{c-2} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$2\left(-\frac{18}{c-2}\right)+y=87$$

-\frac{18}{c-2} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{36}{c-2}+y=87$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{36}{c-2} ઍડ કરો.

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$