{l}{a=15-2b}{2a-5b=15-2a} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { a = 15 - 2 b } \\ { 2 a - 5 b = 15 - 2 a } \end{array} \right.$$

a, b માટે ઉકેલો

$$a = \frac{105}{13} = 8\frac{1}{13} \approx 8.076923077$$

$$b = \frac{45}{13} = 3\frac{6}{13} \approx 3.461538462$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 2b ઍડ કરો.

$$a+2b=15$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 2a ઍડ કરો.

$$2a-5b+2a=15$$

4a ને મેળવવા માટે 2a અને 2a ને એકસાથે કરો.

$$4a-5b=15$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને a ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને a માટે ઉકેલો.

$$a+2b=15$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2b નો ઘટાડો કરો.

$$a=-2b+15$$

અન્ય સમીકરણ, 4a-5b=15 માં a માટે -2b+15 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4\left(-2b+15\right)-5b=15$$

-2b+15 ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-8b+60-5b=15$$

-5b માં -8b ઍડ કરો.

$$-13b+60=15$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 60 નો ઘટાડો કરો.

$$-13b=-45$$

બન્ને બાજુનો -13 થી ભાગાકાર કરો.

$$b=\frac{45}{13}$$

a=-2b+15માં b માટે \frac{45}{13} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું a માટે ઉકેલો.

$$a=-2\times \frac{45}{13}+15$$

\frac{45}{13} ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$a=-\frac{90}{13}+15$$

-\frac{90}{13} માં 15 ઍડ કરો.

$$a=\frac{105}{13}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 2b ઍડ કરો.

$$a+2b=15$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 2a ઍડ કરો.

$$2a-5b+2a=15$$

4a ને મેળવવા માટે 2a અને 2a ને એકસાથે કરો.

$$4a-5b=15$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-2\times 4}&-\frac{2}{-5-2\times 4}\\-\frac{4}{-5-2\times 4}&\frac{1}{-5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\times 15+\frac{2}{13}\times 15\\\frac{4}{13}\times 15-\frac{1}{13}\times 15\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105}{13}\\\frac{45}{13}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો a અને b ને કાઢો.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 2b ઍડ કરો.

$$a+2b=15$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 2a ઍડ કરો.

$$2a-5b+2a=15$$

4a ને મેળવવા માટે 2a અને 2a ને એકસાથે કરો.

$$4a-5b=15$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

a અને 4a ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$4a+4\times 2b=4\times 15,4a-5b=15$$

સરળ બનાવો.

$$4a+8b=60,4a-5b=15$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 4a+8b=60માંથી 4a-5b=15 ને ઘટાડો.

$$4a-4a+8b+5b=60-15$$

-4a માં 4a ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 4a અને -4a ને વિભાજિત કરો.

$$8b+5b=60-15$$

5b માં 8b ઍડ કરો.

$$13b=60-15$$

-15 માં 60 ઍડ કરો.

$$13b=45$$

બન્ને બાજુનો 13 થી ભાગાકાર કરો.

$$b=\frac{45}{13}$$

4a-5b=15માં b માટે \frac{45}{13} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું a માટે ઉકેલો.

$$4a-5\times \frac{45}{13}=15$$

\frac{45}{13} ને -5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$4a-\frac{225}{13}=15$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{225}{13} ઍડ કરો.

$$4a=\frac{420}{13}$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$a=\frac{105}{13}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$