{l}{a+2b=29}{2a+b=17} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { a + 2 b = 29 } \\ { 2 a + b = 17 } \end{array} \right.$$

a, b માટે ઉકેલો

$$a = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$b = \frac{41}{3} = 13\frac{2}{3} \approx 13.666666667$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$a+2b=29,2a+b=17$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને a ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને a માટે ઉકેલો.

$$a+2b=29$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2b નો ઘટાડો કરો.

$$a=-2b+29$$

અન્ય સમીકરણ, 2a+b=17 માં a માટે -2b+29 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(-2b+29\right)+b=17$$

-2b+29 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-4b+58+b=17$$

b માં -4b ઍડ કરો.

$$-3b+58=17$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 58 નો ઘટાડો કરો.

$$-3b=-41$$

બન્ને બાજુનો -3 થી ભાગાકાર કરો.

$$b=\frac{41}{3}$$

a=-2b+29માં b માટે \frac{41}{3} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું a માટે ઉકેલો.

$$a=-2\times \frac{41}{3}+29$$

\frac{41}{3} ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$a=-\frac{82}{3}+29$$

-\frac{82}{3} માં 29 ઍડ કરો.

$$a=\frac{5}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$a=\frac{5}{3},b=\frac{41}{3}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$a+2b=29,2a+b=17$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\17\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\17\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\times 2}&-\frac{2}{1-2\times 2}\\-\frac{2}{1-2\times 2}&\frac{1}{1-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\17\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\17\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 29+\frac{2}{3}\times 17\\\frac{2}{3}\times 29-\frac{1}{3}\times 17\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{41}{3}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો a અને b ને કાઢો.

$$a=\frac{5}{3},b=\frac{41}{3}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$a+2b=29,2a+b=17$$

a અને 2a ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2a+2\times 2b=2\times 29,2a+b=17$$

સરળ બનાવો.

$$2a+4b=58,2a+b=17$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 2a+4b=58માંથી 2a+b=17 ને ઘટાડો.

$$2a-2a+4b-b=58-17$$

-2a માં 2a ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 2a અને -2a ને વિભાજિત કરો.

$$4b-b=58-17$$

-b માં 4b ઍડ કરો.

$$3b=58-17$$

-17 માં 58 ઍડ કરો.

$$3b=41$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$b=\frac{41}{3}$$

2a+b=17માં b માટે \frac{41}{3} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું a માટે ઉકેલો.

$$2a+\frac{41}{3}=17$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{41}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$2a=\frac{10}{3}$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$a=\frac{5}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$a=\frac{5}{3},b=\frac{41}{3}$$