{l}{Ax+By=C}{Dx+Cy=F} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { A x + B y = C } \\ { D x + C y = F } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો (જટિલ સમાધાન)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{BF-C^{2}}{AC-BD}\text{, }y=-\frac{CD-AF}{AC-BD}\text{, }&\left(B\neq 0\text{ or }C\neq 0\right)\text{ and }\left(C\neq 0\text{ or }D\neq 0\right)\text{ and }\left(C=0\text{ or }A\neq \frac{BD}{C}\text{ or }B=0\text{ or }D=0\right)\text{ and }A\neq 0\\x=-\frac{By-C}{A}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A\neq 0\text{ and }F=\frac{BD^{2}}{A^{2}}\text{ and }C=\frac{BD}{A}\\x=\frac{BF-C^{2}}{BD}\text{, }y=\frac{C}{B}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }B\neq 0\\x=\frac{F}{D}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }C=0\text{ and }B=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=-B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=-\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }F=0\text{ and }B=0\text{ and }C=0\end{matrix}\right.$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$Ax+By=C$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી By નો ઘટાડો કરો.

$$Ax=\left(-B\right)y+C$$

બન્ને બાજુનો A થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{A}\left(\left(-B\right)y+C\right)$$

-By+C ને \frac{1}{A} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}$$

અન્ય સમીકરણ, Dx+Cy=F માં x માટે \frac{-By+C}{A} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$D\left(\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}\right)+Cy=F$$

\frac{-By+C}{A} ને D વાર ગુણાકાર કરો.

$$\left(-\frac{BD}{A}\right)y+\frac{CD}{A}+Cy=F$$

Cy માં -\frac{DBy}{A} ઍડ કરો.

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y+\frac{CD}{A}=F$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{DC}{A} નો ઘટાડો કરો.

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y=-\frac{CD}{A}+F$$

બન્ને બાજુનો C-\frac{DB}{A} થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}માં y માટે \frac{FA-DC}{CA-DB} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)\times \frac{AF-CD}{AC-BD}+\frac{C}{A}$$

\frac{FA-DC}{CA-DB} ને -\frac{B}{A} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{B\left(AF-CD\right)}{A\left(AC-BD\right)}+\frac{C}{A}$$

-\frac{B\left(FA-DC\right)}{A\left(CA-DB\right)} માં \frac{C}{A} ઍડ કરો.

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD},y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}&-\frac{B}{AC-BD}\\-\frac{D}{AC-BD}&\frac{A}{AC-BD}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}C+\left(-\frac{B}{AC-BD}\right)F\\\left(-\frac{D}{AC-BD}\right)C+\frac{A}{AC-BD}F\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}\\\frac{CD-AF}{BD-AC}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

Ax અને Dx ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો D સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો A સાથે ગુણાકાર કરો.

$$DAx+DBy=DC,ADx+ACy=AF$$

સરળ બનાવો.

$$ADx+BDy=CD,ADx+ACy=AF$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી ADx+BDy=CDમાંથી ADx+ACy=AF ને ઘટાડો.

$$ADx+\left(-AD\right)x+BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

-DAx માં DAx ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો DAx અને -DAx ને વિભાજિત કરો.

$$BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

-ACy માં DBy ઍડ કરો.

$$\left(BD-AC\right)y=CD-AF$$

બન્ને બાજુનો DB-AC થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

Dx+Cy=Fમાં y માટે \frac{DC-AF}{DB-AC} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$Dx+C\times \frac{CD-AF}{BD-AC}=F$$

\frac{DC-AF}{DB-AC} ને C વાર ગુણાકાર કરો.

$$Dx+\frac{C\left(CD-AF\right)}{BD-AC}=F$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{C\left(DC-AF\right)}{DB-AC} નો ઘટાડો કરો.

$$Dx=\frac{D\left(BF-C^{2}\right)}{BD-AC}$$

બન્ને બાજુનો D થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

x, y માટે ઉકેલો

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{BF-C^{2}}{AC-BD}\text{, }y=-\frac{CD-AF}{AC-BD}\text{, }&\left(B\neq 0\text{ or }C\neq 0\right)\text{ and }\left(C\neq 0\text{ or }D\neq 0\right)\text{ and }\left(C=0\text{ or }A\neq \frac{BD}{C}\text{ or }B=0\text{ or }D=0\right)\text{ and }A\neq 0\\x=-\frac{By-C}{A}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&A\neq 0\text{ and }F=\frac{BD^{2}}{A^{2}}\text{ and }C=\frac{BD}{A}\\x=\frac{BF-C^{2}}{BD}\text{, }y=\frac{C}{B}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }B\neq 0\\x=\frac{F}{D}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }C=0\text{ and }B=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=-\sqrt{\frac{F}{B}}\text{, }&\left(B=\frac{C^{2}}{F}\text{ and }F>0\text{ and }A=0\text{ and }D=0\text{ and }C<0\right)\text{ or }\left(B=\frac{C^{2}}{F}\text{ and }F<0\text{ and }A=0\text{ and }D=0\text{ and }C>0\right)\text{ or }\left(B\neq 0\text{ and }C=0\text{ and }F=0\text{ and }A=0\text{ and }D=0\right)\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=\sqrt{\frac{F}{B}}\text{, }&\left(B=\frac{C^{2}}{F}\text{ and }F>0\text{ and }A=0\text{ and }D=0\text{ and }C>0\right)\text{ or }\left(B=\frac{C^{2}}{F}\text{ and }F<0\text{ and }A=0\text{ and }D=0\text{ and }C<0\right)\text{ or }\left(B\neq 0\text{ and }C=0\text{ and }F=0\text{ and }A=0\text{ and }D=0\right)\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }F=0\text{ and }B=0\text{ and }C=0\end{matrix}\right.$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$Ax+By=C$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી By નો ઘટાડો કરો.

$$Ax=\left(-B\right)y+C$$

બન્ને બાજુનો A થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{A}\left(\left(-B\right)y+C\right)$$

-By+C ને \frac{1}{A} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}$$

અન્ય સમીકરણ, Dx+Cy=F માં x માટે \frac{-By+C}{A} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$D\left(\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}\right)+Cy=F$$

\frac{-By+C}{A} ને D વાર ગુણાકાર કરો.

$$\left(-\frac{BD}{A}\right)y+\frac{CD}{A}+Cy=F$$

Cy માં -\frac{DBy}{A} ઍડ કરો.

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y+\frac{CD}{A}=F$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{DC}{A} નો ઘટાડો કરો.

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y=-\frac{CD}{A}+F$$

બન્ને બાજુનો C-\frac{DB}{A} થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}માં y માટે \frac{FA-DC}{CA-DB} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)\times \frac{AF-CD}{AC-BD}+\frac{C}{A}$$

\frac{FA-DC}{CA-DB} ને -\frac{B}{A} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{B\left(AF-CD\right)}{A\left(AC-BD\right)}+\frac{C}{A}$$

-\frac{B\left(FA-DC\right)}{A\left(CA-DB\right)} માં \frac{C}{A} ઍડ કરો.

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD},y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}&-\frac{B}{AC-BD}\\-\frac{D}{AC-BD}&\frac{A}{AC-BD}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}C+\left(-\frac{B}{AC-BD}\right)F\\\left(-\frac{D}{AC-BD}\right)C+\frac{A}{AC-BD}F\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}\\\frac{CD-AF}{BD-AC}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

Ax અને Dx ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો D સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો A સાથે ગુણાકાર કરો.

$$DAx+DBy=DC,ADx+ACy=AF$$

સરળ બનાવો.

$$ADx+BDy=CD,ADx+ACy=AF$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી ADx+BDy=CDમાંથી ADx+ACy=AF ને ઘટાડો.

$$ADx+\left(-AD\right)x+BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

-DAx માં DAx ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો DAx અને -DAx ને વિભાજિત કરો.

$$BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

-ACy માં DBy ઍડ કરો.

$$\left(BD-AC\right)y=CD-AF$$

બન્ને બાજુનો DB-AC થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

Dx+Cy=Fમાં y માટે \frac{DC-AF}{DB-AC} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$Dx+C\times \frac{CD-AF}{BD-AC}=F$$

\frac{DC-AF}{DB-AC} ને C વાર ગુણાકાર કરો.

$$Dx+\frac{C\left(CD-AF\right)}{BD-AC}=F$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{C\left(DC-AF\right)}{DB-AC} નો ઘટાડો કરો.

$$Dx=\frac{D\left(BF-C^{2}\right)}{BD-AC}$$

બન્ને બાજુનો D થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$