{l}{950x-120y=13}{490y-120x=-1} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 950 x - 120 y = 13 } \\ { 490 y - 120 x = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=\frac{125}{9022}\approx 0.013855021$$

$$y=\frac{61}{45110}\approx 0.00135225$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$950x-120y=13,-120x+490y=-1$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$950x-120y=13$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 120y ઍડ કરો.

$$950x=120y+13$$

બન્ને બાજુનો 950 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{950}\left(120y+13\right)$$

120y+13 ને \frac{1}{950} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{12}{95}y+\frac{13}{950}$$

અન્ય સમીકરણ, -120x+490y=-1 માં x માટે \frac{12y}{95}+\frac{13}{950} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-120\left(\frac{12}{95}y+\frac{13}{950}\right)+490y=-1$$

\frac{12y}{95}+\frac{13}{950} ને -120 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{288}{19}y-\frac{156}{95}+490y=-1$$

490y માં -\frac{288y}{19} ઍડ કરો.

$$\frac{9022}{19}y-\frac{156}{95}=-1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{156}{95} ઍડ કરો.

$$\frac{9022}{19}y=\frac{61}{95}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{9022}{19} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{61}{45110}$$

x=\frac{12}{95}y+\frac{13}{950}માં y માટે \frac{61}{45110} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{12}{95}\times \frac{61}{45110}+\frac{13}{950}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{12}{95} નો \frac{61}{45110} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{366}{2142725}+\frac{13}{950}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{366}{2142725} માં \frac{13}{950} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{125}{9022}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{125}{9022},y=\frac{61}{45110}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$950x-120y=13,-120x+490y=-1$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}950&-120\\-120&490\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}950&-120\\-120&490\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}950&-120\\-120&490\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}950&-120\\-120&490\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}950&-120\\-120&490\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}950&-120\\-120&490\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}950&-120\\-120&490\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{490}{950\times 490-\left(-120\left(-120\right)\right)}&-\frac{-120}{950\times 490-\left(-120\left(-120\right)\right)}\\-\frac{-120}{950\times 490-\left(-120\left(-120\right)\right)}&\frac{950}{950\times 490-\left(-120\left(-120\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{45110}&\frac{6}{22555}\\\frac{6}{22555}&\frac{19}{9022}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{45110}\times 13+\frac{6}{22555}\left(-1\right)\\\frac{6}{22555}\times 13+\frac{19}{9022}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{125}{9022}\\\frac{61}{45110}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{125}{9022},y=\frac{61}{45110}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$950x-120y=13,-120x+490y=-1$$

950x અને -120x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -120 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 950 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-120\times 950x-120\left(-120\right)y=-120\times 13,950\left(-120\right)x+950\times 490y=950\left(-1\right)$$

સરળ બનાવો.

$$-114000x+14400y=-1560,-114000x+465500y=-950$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -114000x+14400y=-1560માંથી -114000x+465500y=-950 ને ઘટાડો.

$$-114000x+114000x+14400y-465500y=-1560+950$$

114000x માં -114000x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -114000x અને 114000x ને વિભાજિત કરો.

$$14400y-465500y=-1560+950$$

-465500y માં 14400y ઍડ કરો.

$$-451100y=-1560+950$$

950 માં -1560 ઍડ કરો.

$$-451100y=-610$$

બન્ને બાજુનો -451100 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{61}{45110}$$

-120x+490y=-1માં y માટે \frac{61}{45110} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-120x+490\times \frac{61}{45110}=-1$$

\frac{61}{45110} ને 490 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-120x+\frac{2989}{4511}=-1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{2989}{4511} નો ઘટાડો કરો.

$$-120x=-\frac{7500}{4511}$$

બન્ને બાજુનો -120 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{125}{9022}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{125}{9022},y=\frac{61}{45110}$$