{l}{9x+my+3=0}{mx+4y+2=0} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + m y + 3 = 0 } \\ { m x + 4 y + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો (જટિલ સમાધાન)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2}{m+6}\text{, }y=-\frac{3}{m+6}\text{, }&m\neq -6\\x=\frac{-2y-1}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=6\end{matrix}\right.$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$9x+my+3=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3 નો ઘટાડો કરો.

$$9x+my=-3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી my નો ઘટાડો કરો.

$$9x=\left(-m\right)y-3$$

બન્ને બાજુનો 9 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{9}\left(\left(-m\right)y-3\right)$$

-my-3 ને \frac{1}{9} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, mx+4y+2=0 માં x માટે -\frac{my}{9}-\frac{1}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$m\left(\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}\right)+4y+2=0$$

-\frac{my}{9}-\frac{1}{3} ને m વાર ગુણાકાર કરો.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}\right)y-\frac{m}{3}+4y+2=0$$

4y માં -\frac{m^{2}y}{9} ઍડ કરો.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y-\frac{m}{3}+2=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી -\frac{m}{3}+2 નો ઘટાડો કરો.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y=\frac{m}{3}-2$$

બન્ને બાજુનો -\frac{m^{2}}{9}+4 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}માં y માટે -\frac{3}{6+m} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)\left(-\frac{3}{m+6}\right)-\frac{1}{3}$$

-\frac{3}{6+m} ને -\frac{m}{9} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{m}{3\left(m+6\right)}-\frac{1}{3}$$

\frac{m}{3\left(6+m\right)} માં -\frac{1}{3} ઍડ કરો.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ માટે \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), પ્રતિલોભ મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શક્યે છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-mm}&-\frac{m}{9\times 4-mm}\\-\frac{m}{9\times 4-mm}&\frac{9}{9\times 4-mm}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}&-\frac{m}{36-m^{2}}\\-\frac{m}{36-m^{2}}&\frac{9}{36-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}\left(-3\right)+\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-2\right)\\\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-3\right)+\frac{9}{36-m^{2}}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{m+6}\\-\frac{3}{m+6}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

9x અને mx ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો m સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 9 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$m\times 9x+mmy+m\times 3=0,9mx+9\times 4y+9\times 2=0$$

સરળ બનાવો.

$$9mx+m^{2}y+3m=0,9mx+36y+18=0$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 9mx+m^{2}y+3m=0માંથી 9mx+36y+18=0 ને ઘટાડો.

$$9mx+\left(-9m\right)x+m^{2}y-36y+3m-18=0$$

-9mx માં 9mx ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 9mx અને -9mx ને વિભાજિત કરો.

$$m^{2}y-36y+3m-18=0$$

-36y માં m^{2}y ઍડ કરો.

$$\left(m^{2}-36\right)y+3m-18=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી -18+3m નો ઘટાડો કરો.

$$\left(m^{2}-36\right)y=18-3m$$

બન્ને બાજુનો m^{2}-36 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

mx+4y+2=0માં y માટે -\frac{3}{6+m} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$mx+4\left(-\frac{3}{m+6}\right)+2=0$$

-\frac{3}{6+m} ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$mx-\frac{12}{m+6}+2=0$$

2 માં -\frac{12}{6+m} ઍડ કરો.

$$mx+\frac{2m}{m+6}=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{2m}{6+m} નો ઘટાડો કરો.

$$mx=-\frac{2m}{m+6}$$

બન્ને બાજુનો m થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

x, y માટે ઉકેલો

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2}{m+6}\text{, }y=-\frac{3}{m+6}\text{, }&|m|\neq 6\\x=\frac{-2y-1}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=6\end{matrix}\right.$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$9x+my+3=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3 નો ઘટાડો કરો.

$$9x+my=-3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી my નો ઘટાડો કરો.

$$9x=\left(-m\right)y-3$$

બન્ને બાજુનો 9 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{9}\left(\left(-m\right)y-3\right)$$

-my-3 ને \frac{1}{9} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, mx+4y+2=0 માં x માટે -\frac{my}{9}-\frac{1}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$m\left(\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}\right)+4y+2=0$$

-\frac{my}{9}-\frac{1}{3} ને m વાર ગુણાકાર કરો.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}\right)y-\frac{m}{3}+4y+2=0$$

4y માં -\frac{m^{2}y}{9} ઍડ કરો.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y-\frac{m}{3}+2=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી -\frac{m}{3}+2 નો ઘટાડો કરો.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y=\frac{m}{3}-2$$

બન્ને બાજુનો -\frac{m^{2}}{9}+4 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}માં y માટે -\frac{3}{6+m} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)\left(-\frac{3}{m+6}\right)-\frac{1}{3}$$

-\frac{3}{6+m} ને -\frac{m}{9} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{m}{3\left(m+6\right)}-\frac{1}{3}$$

\frac{m}{3\left(6+m\right)} માં -\frac{1}{3} ઍડ કરો.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ માટે \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), પ્રતિલોભ મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શક્યે છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-mm}&-\frac{m}{9\times 4-mm}\\-\frac{m}{9\times 4-mm}&\frac{9}{9\times 4-mm}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}&-\frac{m}{36-m^{2}}\\-\frac{m}{36-m^{2}}&\frac{9}{36-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}\left(-3\right)+\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-2\right)\\\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-3\right)+\frac{9}{36-m^{2}}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{m+6}\\-\frac{3}{m+6}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

9x અને mx ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો m સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 9 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$m\times 9x+mmy+m\times 3=0,9mx+9\times 4y+9\times 2=0$$

સરળ બનાવો.

$$9mx+m^{2}y+3m=0,9mx+36y+18=0$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 9mx+m^{2}y+3m=0માંથી 9mx+36y+18=0 ને ઘટાડો.

$$9mx+\left(-9m\right)x+m^{2}y-36y+3m-18=0$$

-9mx માં 9mx ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 9mx અને -9mx ને વિભાજિત કરો.

$$m^{2}y-36y+3m-18=0$$

-36y માં m^{2}y ઍડ કરો.

$$\left(m^{2}-36\right)y+3m-18=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી -18+3m નો ઘટાડો કરો.

$$\left(m^{2}-36\right)y=18-3m$$

બન્ને બાજુનો m^{2}-36 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

mx+4y+2=0માં y માટે -\frac{3}{6+m} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$mx+4\left(-\frac{3}{m+6}\right)+2=0$$

-\frac{3}{6+m} ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$mx-\frac{12}{m+6}+2=0$$

2 માં -\frac{12}{6+m} ઍડ કરો.

$$mx+\frac{2m}{m+6}=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{2m}{6+m} નો ઘટાડો કરો.

$$mx=-\frac{2m}{m+6}$$

બન્ને બાજુનો m થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$