{l}{9x+13y=9}{2x+y=11} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 13 y = 9 } \\ { 2 x + y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{134}{17} = 7\frac{15}{17} \approx 7.882352941$$

$$y = -\frac{81}{17} = -4\frac{13}{17} \approx -4.764705882$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$9x+13y=9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 13y નો ઘટાડો કરો.

$$9x=-13y+9$$

બન્ને બાજુનો 9 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{9}\left(-13y+9\right)$$

-13y+9 ને \frac{1}{9} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{13}{9}y+1$$

અન્ય સમીકરણ, 2x+y=11 માં x માટે -\frac{13y}{9}+1 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(-\frac{13}{9}y+1\right)+y=11$$

-\frac{13y}{9}+1 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{26}{9}y+2+y=11$$

y માં -\frac{26y}{9} ઍડ કરો.

$$-\frac{17}{9}y+2=11$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2 નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{17}{9}y=9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{17}{9} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-\frac{81}{17}$$

x=-\frac{13}{9}y+1માં y માટે -\frac{81}{17} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{13}{9}\left(-\frac{81}{17}\right)+1$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{13}{9} નો -\frac{81}{17} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{117}{17}+1$$

\frac{117}{17} માં 1 ઍડ કરો.

$$x=\frac{134}{17}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-13\times 2}&-\frac{13}{9-13\times 2}\\-\frac{2}{9-13\times 2}&\frac{9}{9-13\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}&\frac{13}{17}\\\frac{2}{17}&-\frac{9}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}\times 9+\frac{13}{17}\times 11\\\frac{2}{17}\times 9-\frac{9}{17}\times 11\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{134}{17}\\-\frac{81}{17}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

9x અને 2x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 9 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2\times 9x+2\times 13y=2\times 9,9\times 2x+9y=9\times 11$$

સરળ બનાવો.

$$18x+26y=18,18x+9y=99$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 18x+26y=18માંથી 18x+9y=99 ને ઘટાડો.

$$18x-18x+26y-9y=18-99$$

-18x માં 18x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 18x અને -18x ને વિભાજિત કરો.

$$26y-9y=18-99$$

-9y માં 26y ઍડ કરો.

$$17y=18-99$$

-99 માં 18 ઍડ કરો.

$$17y=-81$$

બન્ને બાજુનો 17 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{81}{17}$$

2x+y=11માં y માટે -\frac{81}{17} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$2x-\frac{81}{17}=11$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{81}{17} ઍડ કરો.

$$2x=\frac{268}{17}$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{134}{17}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$