{l}{9v+2w=7}{3v-8w=-2} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 9 v + 2 w = 7 } \\ { 3 v - 8 w = - 2 } \end{array} \right.$$

v, w માટે ઉકેલો

$$v=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$w=\frac{1}{2}=0.5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને v ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને v માટે ઉકેલો.

$$9v+2w=7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2w નો ઘટાડો કરો.

$$9v=-2w+7$$

બન્ને બાજુનો 9 થી ભાગાકાર કરો.

$$v=\frac{1}{9}\left(-2w+7\right)$$

-2w+7 ને \frac{1}{9} વાર ગુણાકાર કરો.

$$v=-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}$$

અન્ય સમીકરણ, 3v-8w=-2 માં v માટે \frac{-2w+7}{9} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3\left(-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}\right)-8w=-2$$

\frac{-2w+7}{9} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{2}{3}w+\frac{7}{3}-8w=-2$$

-8w માં -\frac{2w}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{26}{3}w+\frac{7}{3}=-2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{7}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{26}{3}w=-\frac{13}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{26}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$w=\frac{1}{2}$$

v=-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}માં w માટે \frac{1}{2} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું v માટે ઉકેલો.

$$v=-\frac{2}{9}\times \frac{1}{2}+\frac{7}{9}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{2}{9} નો \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$v=\frac{-1+7}{9}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{1}{9} માં \frac{7}{9} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$v=\frac{2}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{9\left(-8\right)-2\times 3}&-\frac{2}{9\left(-8\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{9\left(-8\right)-2\times 3}&\frac{9}{9\left(-8\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{1}{26}&-\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 7+\frac{1}{39}\left(-2\right)\\\frac{1}{26}\times 7-\frac{3}{26}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો v અને w ને કાઢો.

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

9v અને 3v ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 9 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3\times 9v+3\times 2w=3\times 7,9\times 3v+9\left(-8\right)w=9\left(-2\right)$$

સરળ બનાવો.

$$27v+6w=21,27v-72w=-18$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 27v+6w=21માંથી 27v-72w=-18 ને ઘટાડો.

$$27v-27v+6w+72w=21+18$$

-27v માં 27v ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 27v અને -27v ને વિભાજિત કરો.

$$6w+72w=21+18$$

72w માં 6w ઍડ કરો.

$$78w=21+18$$

18 માં 21 ઍડ કરો.

$$78w=39$$

બન્ને બાજુનો 78 થી ભાગાકાર કરો.

$$w=\frac{1}{2}$$

3v-8w=-2માં w માટે \frac{1}{2} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું v માટે ઉકેલો.

$$3v-8\times \frac{1}{2}=-2$$

\frac{1}{2} ને -8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$3v-4=-2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 4 ઍડ કરો.

$$3v=2$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$v=\frac{2}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$