{l}{9m+6n=123}{9m+5n=113} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 9 m + 6 n = 123 } \\ { 9 m + 5 n = 113 } \end{array} \right.$$

m, n માટે ઉકેલો

$$m=7$$

$$n=10$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$9m+6n=123,9m+5n=113$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને m ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને m માટે ઉકેલો.

$$9m+6n=123$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 6n નો ઘટાડો કરો.

$$9m=-6n+123$$

બન્ને બાજુનો 9 થી ભાગાકાર કરો.

$$m=\frac{1}{9}\left(-6n+123\right)$$

-6n+123 ને \frac{1}{9} વાર ગુણાકાર કરો.

$$m=-\frac{2}{3}n+\frac{41}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, 9m+5n=113 માં m માટે \frac{-2n+41}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$9\left(-\frac{2}{3}n+\frac{41}{3}\right)+5n=113$$

\frac{-2n+41}{3} ને 9 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-6n+123+5n=113$$

5n માં -6n ઍડ કરો.

$$-n+123=113$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 123 નો ઘટાડો કરો.

$$-n=-10$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$n=10$$

m=-\frac{2}{3}n+\frac{41}{3}માં n માટે 10 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું m માટે ઉકેલો.

$$m=-\frac{2}{3}\times 10+\frac{41}{3}$$

10 ને -\frac{2}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$m=\frac{-20+41}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{20}{3} માં \frac{41}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$m=7$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$m=7,n=10$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$9m+6n=123,9m+5n=113$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9\times 5-6\times 9}&-\frac{6}{9\times 5-6\times 9}\\-\frac{9}{9\times 5-6\times 9}&\frac{9}{9\times 5-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{9}&\frac{2}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{9}\times 123+\frac{2}{3}\times 113\\123-113\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો m અને n ને કાઢો.

$$m=7,n=10$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$9m+6n=123,9m+5n=113$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 9m+6n=123માંથી 9m+5n=113 ને ઘટાડો.

$$9m-9m+6n-5n=123-113$$

-9m માં 9m ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 9m અને -9m ને વિભાજિત કરો.

$$6n-5n=123-113$$

-5n માં 6n ઍડ કરો.

$$n=123-113$$

-113 માં 123 ઍડ કરો.

$$n=10$$

9m+5n=113માં n માટે 10 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું m માટે ઉકેલો.

$$9m+5\times 10=113$$

10 ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$9m+50=113$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 50 નો ઘટાડો કરો.

$$9m=63$$

બન્ને બાજુનો 9 થી ભાગાકાર કરો.

$$m=7$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$m=7,n=10$$