{l}{8y+x=7}{7y+8x=16} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 8 y + x = 7 } \\ { 7 y + 8 x = 16 } \end{array} \right.$$

y, x માટે ઉકેલો

$$x = \frac{79}{57} = 1\frac{22}{57} \approx 1.385964912$$

$$y=\frac{40}{57}\approx 0.701754386$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને y ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને y માટે ઉકેલો.

$$8y+x=7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી x નો ઘટાડો કરો.

$$8y=-x+7$$

બન્ને બાજુનો 8 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{1}{8}\left(-x+7\right)$$

-x+7 ને \frac{1}{8} વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}$$

અન્ય સમીકરણ, 7y+8x=16 માં y માટે \frac{-x+7}{8} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$7\left(-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}\right)+8x=16$$

\frac{-x+7}{8} ને 7 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{7}{8}x+\frac{49}{8}+8x=16$$

8x માં -\frac{7x}{8} ઍડ કરો.

$$\frac{57}{8}x+\frac{49}{8}=16$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{49}{8} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{57}{8}x=\frac{79}{8}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{57}{8} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x=\frac{79}{57}$$

y=-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}માં x માટે \frac{79}{57} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=-\frac{1}{8}\times \frac{79}{57}+\frac{7}{8}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{1}{8} નો \frac{79}{57} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$y=-\frac{79}{456}+\frac{7}{8}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{79}{456} માં \frac{7}{8} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$y=\frac{40}{57}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8\times 8-7}&-\frac{1}{8\times 8-7}\\-\frac{7}{8\times 8-7}&\frac{8}{8\times 8-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{57}&-\frac{1}{57}\\-\frac{7}{57}&\frac{8}{57}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{57}\times 7-\frac{1}{57}\times 16\\-\frac{7}{57}\times 7+\frac{8}{57}\times 16\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{57}\\\frac{79}{57}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

8y અને 7y ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 7 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 8 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$7\times 8y+7x=7\times 7,8\times 7y+8\times 8x=8\times 16$$

સરળ બનાવો.

$$56y+7x=49,56y+64x=128$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 56y+7x=49માંથી 56y+64x=128 ને ઘટાડો.

$$56y-56y+7x-64x=49-128$$

-56y માં 56y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 56y અને -56y ને વિભાજિત કરો.

$$7x-64x=49-128$$

-64x માં 7x ઍડ કરો.

$$-57x=49-128$$

-128 માં 49 ઍડ કરો.

$$-57x=-79$$

બન્ને બાજુનો -57 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{79}{57}$$

7y+8x=16માં x માટે \frac{79}{57} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$7y+8\times \frac{79}{57}=16$$

\frac{79}{57} ને 8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$7y+\frac{632}{57}=16$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{632}{57} નો ઘટાડો કરો.

$$7y=\frac{280}{57}$$

બન્ને બાજુનો 7 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{40}{57}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$