{l}{8x-3y=4}{-4x+4y=8} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 3 y = 4 } \\ { - 4 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=2$$

$$y=4$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$8x-3y=4,-4x+4y=8$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$8x-3y=4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3y ઍડ કરો.

$$8x=3y+4$$

બન્ને બાજુનો 8 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{8}\left(3y+4\right)$$

3y+4 ને \frac{1}{8} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{3}{8}y+\frac{1}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, -4x+4y=8 માં x માટે \frac{3y}{8}+\frac{1}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-4\left(\frac{3}{8}y+\frac{1}{2}\right)+4y=8$$

\frac{3y}{8}+\frac{1}{2} ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{3}{2}y-2+4y=8$$

4y માં -\frac{3y}{2} ઍડ કરો.

$$\frac{5}{2}y-2=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2 ઍડ કરો.

$$\frac{5}{2}y=10$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{5}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=4$$

x=\frac{3}{8}y+\frac{1}{2}માં y માટે 4 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{3}{8}\times 4+\frac{1}{2}$$

4 ને \frac{3}{8} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{3+1}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{3}{2} માં \frac{1}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=2,y=4$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$8x-3y=4,-4x+4y=8$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}8&-3\\-4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&-3\\-4&4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-3\\-4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-3\\-4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-3\\-4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-3\\-4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-3\\-4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{8\times 4-\left(-3\left(-4\right)\right)}&-\frac{-3}{8\times 4-\left(-3\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{8\times 4-\left(-3\left(-4\right)\right)}&\frac{8}{8\times 4-\left(-3\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 4+\frac{3}{20}\times 8\\\frac{1}{5}\times 4+\frac{2}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=2,y=4$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$8x-3y=4,-4x+4y=8$$

8x અને -4x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -4 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 8 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-4\times 8x-4\left(-3\right)y=-4\times 4,8\left(-4\right)x+8\times 4y=8\times 8$$

સરળ બનાવો.

$$-32x+12y=-16,-32x+32y=64$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -32x+12y=-16માંથી -32x+32y=64 ને ઘટાડો.

$$-32x+32x+12y-32y=-16-64$$

32x માં -32x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -32x અને 32x ને વિભાજિત કરો.

$$12y-32y=-16-64$$

-32y માં 12y ઍડ કરો.

$$-20y=-16-64$$

-64 માં -16 ઍડ કરો.

$$-20y=-80$$

બન્ને બાજુનો -20 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=4$$

-4x+4y=8માં y માટે 4 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-4x+4\times 4=8$$

4 ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-4x+16=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 16 નો ઘટાડો કરો.

$$-4x=-8$$

બન્ને બાજુનો -4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=2,y=4$$