{l}{8x-3y=1}{-8x+5y=9} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 3 y = 1 } \\ { - 8 x + 5 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=2$$

$$y=5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$8x-3y=1,-8x+5y=9$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$8x-3y=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3y ઍડ કરો.

$$8x=3y+1$$

બન્ને બાજુનો 8 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{8}\left(3y+1\right)$$

3y+1 ને \frac{1}{8} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{3}{8}y+\frac{1}{8}$$

અન્ય સમીકરણ, -8x+5y=9 માં x માટે \frac{3y+1}{8} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-8\left(\frac{3}{8}y+\frac{1}{8}\right)+5y=9$$

\frac{3y+1}{8} ને -8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-3y-1+5y=9$$

5y માં -3y ઍડ કરો.

$$2y-1=9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 1 ઍડ કરો.

$$2y=10$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=5$$

x=\frac{3}{8}y+\frac{1}{8}માં y માટે 5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{3}{8}\times 5+\frac{1}{8}$$

5 ને \frac{3}{8} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{15+1}{8}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{15}{8} માં \frac{1}{8} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=2,y=5$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$8x-3y=1,-8x+5y=9$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}8&-3\\-8&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&-3\\-8&5\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-3\\-8&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-3\\-8&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-3\\-8&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-3\\-8&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-3\\-8&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8\times 5-\left(-3\left(-8\right)\right)}&-\frac{-3}{8\times 5-\left(-3\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{8\times 5-\left(-3\left(-8\right)\right)}&\frac{8}{8\times 5-\left(-3\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}+\frac{3}{16}\times 9\\\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 9\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=2,y=5$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$8x-3y=1,-8x+5y=9$$

8x અને -8x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -8 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 8 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-8\times 8x-8\left(-3\right)y=-8,8\left(-8\right)x+8\times 5y=8\times 9$$

સરળ બનાવો.

$$-64x+24y=-8,-64x+40y=72$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -64x+24y=-8માંથી -64x+40y=72 ને ઘટાડો.

$$-64x+64x+24y-40y=-8-72$$

64x માં -64x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -64x અને 64x ને વિભાજિત કરો.

$$24y-40y=-8-72$$

-40y માં 24y ઍડ કરો.

$$-16y=-8-72$$

-72 માં -8 ઍડ કરો.

$$-16y=-80$$

બન્ને બાજુનો -16 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=5$$

-8x+5y=9માં y માટે 5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-8x+5\times 5=9$$

5 ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-8x+25=9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 25 નો ઘટાડો કરો.

$$-8x=-16$$

બન્ને બાજુનો -8 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=2,y=5$$