{l}{8x+y=67}{4x+7y=51} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + y = 67 } \\ { 4 x + 7 y = 51 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{209}{26} = 8\frac{1}{26} \approx 8.038461538$$

$$y = \frac{35}{13} = 2\frac{9}{13} \approx 2.692307692$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$8x+y=67,4x+7y=51$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$8x+y=67$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$8x=-y+67$$

બન્ને બાજુનો 8 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+67\right)$$

-y+67 ને \frac{1}{8} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{8}y+\frac{67}{8}$$

અન્ય સમીકરણ, 4x+7y=51 માં x માટે \frac{-y+67}{8} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4\left(-\frac{1}{8}y+\frac{67}{8}\right)+7y=51$$

\frac{-y+67}{8} ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{67}{2}+7y=51$$

7y માં -\frac{y}{2} ઍડ કરો.

$$\frac{13}{2}y+\frac{67}{2}=51$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{67}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{13}{2}y=\frac{35}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{13}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{35}{13}$$

x=-\frac{1}{8}y+\frac{67}{8}માં y માટે \frac{35}{13} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{1}{8}\times \frac{35}{13}+\frac{67}{8}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{1}{8} નો \frac{35}{13} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{35}{104}+\frac{67}{8}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{35}{104} માં \frac{67}{8} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{209}{26}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{209}{26},y=\frac{35}{13}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$8x+y=67,4x+7y=51$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}67\\51\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&1\\4&7\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}67\\51\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}67\\51\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}67\\51\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8\times 7-4}&-\frac{1}{8\times 7-4}\\-\frac{4}{8\times 7-4}&\frac{8}{8\times 7-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}67\\51\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{52}&-\frac{1}{52}\\-\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}67\\51\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{52}\times 67-\frac{1}{52}\times 51\\-\frac{1}{13}\times 67+\frac{2}{13}\times 51\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{209}{26}\\\frac{35}{13}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{209}{26},y=\frac{35}{13}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$8x+y=67,4x+7y=51$$

8x અને 4x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 8 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$4\times 8x+4y=4\times 67,8\times 4x+8\times 7y=8\times 51$$

સરળ બનાવો.

$$32x+4y=268,32x+56y=408$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 32x+4y=268માંથી 32x+56y=408 ને ઘટાડો.

$$32x-32x+4y-56y=268-408$$

-32x માં 32x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 32x અને -32x ને વિભાજિત કરો.

$$4y-56y=268-408$$

-56y માં 4y ઍડ કરો.

$$-52y=268-408$$

-408 માં 268 ઍડ કરો.

$$-52y=-140$$

બન્ને બાજુનો -52 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{35}{13}$$

4x+7y=51માં y માટે \frac{35}{13} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$4x+7\times \frac{35}{13}=51$$

\frac{35}{13} ને 7 વાર ગુણાકાર કરો.

$$4x+\frac{245}{13}=51$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{245}{13} નો ઘટાડો કરો.

$$4x=\frac{418}{13}$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{209}{26}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{209}{26},y=\frac{35}{13}$$