{l}{8x+4y=-4}{4x-2y=8} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 4 y = - 4 } \\ { 4 x - 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

$$y = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$8x+4y=-4,4x-2y=8$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$8x+4y=-4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 4y નો ઘટાડો કરો.

$$8x=-4y-4$$

બન્ને બાજુનો 8 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{8}\left(-4y-4\right)$$

-4y-4 ને \frac{1}{8} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, 4x-2y=8 માં x માટે \frac{-y-1}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4\left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)-2y=8$$

\frac{-y-1}{2} ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-2y-2-2y=8$$

-2y માં -2y ઍડ કરો.

$$-4y-2=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2 ઍડ કરો.

$$-4y=10$$

બન્ને બાજુનો -4 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{5}{2}$$

x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}માં y માટે -\frac{5}{2} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{5}{2}\right)-\frac{1}{2}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{1}{2} નો -\frac{5}{2} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{5}{4}-\frac{1}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{5}{4} માં -\frac{1}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{3}{4}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{5}{2}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$8x+4y=-4,4x-2y=8$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{8\left(-2\right)-4\times 4}&-\frac{4}{8\left(-2\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{8\left(-2\right)-4\times 4}&\frac{8}{8\left(-2\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}\left(-4\right)+\frac{1}{8}\times 8\\\frac{1}{8}\left(-4\right)-\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{5}{2}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$8x+4y=-4,4x-2y=8$$

8x અને 4x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 8 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$4\times 8x+4\times 4y=4\left(-4\right),8\times 4x+8\left(-2\right)y=8\times 8$$

સરળ બનાવો.

$$32x+16y=-16,32x-16y=64$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 32x+16y=-16માંથી 32x-16y=64 ને ઘટાડો.

$$32x-32x+16y+16y=-16-64$$

-32x માં 32x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 32x અને -32x ને વિભાજિત કરો.

$$16y+16y=-16-64$$

16y માં 16y ઍડ કરો.

$$32y=-16-64$$

-64 માં -16 ઍડ કરો.

$$32y=-80$$

બન્ને બાજુનો 32 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{5}{2}$$

4x-2y=8માં y માટે -\frac{5}{2} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$4x-2\left(-\frac{5}{2}\right)=8$$

-\frac{5}{2} ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$4x+5=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 5 નો ઘટાડો કરો.

$$4x=3$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{3}{4}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{5}{2}$$