{l}{8x+3y=10}{6x+y=-12} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 3 y = 10 } \\ { 6 x + y = - 12 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = -\frac{23}{5} = -4\frac{3}{5} = -4.6$$

$$y = \frac{78}{5} = 15\frac{3}{5} = 15.6$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$8x+3y=10,6x+y=-12$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$8x+3y=10$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3y નો ઘટાડો કરો.

$$8x=-3y+10$$

બન્ને બાજુનો 8 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{8}\left(-3y+10\right)$$

-3y+10 ને \frac{1}{8} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{3}{8}y+\frac{5}{4}$$

અન્ય સમીકરણ, 6x+y=-12 માં x માટે -\frac{3y}{8}+\frac{5}{4} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$6\left(-\frac{3}{8}y+\frac{5}{4}\right)+y=-12$$

-\frac{3y}{8}+\frac{5}{4} ને 6 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{9}{4}y+\frac{15}{2}+y=-12$$

y માં -\frac{9y}{4} ઍડ કરો.

$$-\frac{5}{4}y+\frac{15}{2}=-12$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{15}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{5}{4}y=-\frac{39}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{5}{4} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{78}{5}$$

x=-\frac{3}{8}y+\frac{5}{4}માં y માટે \frac{78}{5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{3}{8}\times \frac{78}{5}+\frac{5}{4}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{3}{8} નો \frac{78}{5} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{117}{20}+\frac{5}{4}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{117}{20} માં \frac{5}{4} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{23}{5}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{23}{5},y=\frac{78}{5}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$8x+3y=10,6x+y=-12$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}8&3\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&3\\6&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&3\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-12\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-12\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-3\times 6}&-\frac{3}{8-3\times 6}\\-\frac{6}{8-3\times 6}&\frac{8}{8-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-12\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\\\frac{3}{5}&-\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-12\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 10+\frac{3}{10}\left(-12\right)\\\frac{3}{5}\times 10-\frac{4}{5}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{23}{5}\\\frac{78}{5}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{23}{5},y=\frac{78}{5}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$8x+3y=10,6x+y=-12$$

8x અને 6x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 6 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 8 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$6\times 8x+6\times 3y=6\times 10,8\times 6x+8y=8\left(-12\right)$$

સરળ બનાવો.

$$48x+18y=60,48x+8y=-96$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 48x+18y=60માંથી 48x+8y=-96 ને ઘટાડો.

$$48x-48x+18y-8y=60+96$$

-48x માં 48x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 48x અને -48x ને વિભાજિત કરો.

$$18y-8y=60+96$$

-8y માં 18y ઍડ કરો.

$$10y=60+96$$

96 માં 60 ઍડ કરો.

$$10y=156$$

બન્ને બાજુનો 10 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{78}{5}$$

6x+y=-12માં y માટે \frac{78}{5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$6x+\frac{78}{5}=-12$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{78}{5} નો ઘટાડો કરો.

$$6x=-\frac{138}{5}$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{23}{5}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{23}{5},y=\frac{78}{5}$$