{l}{7x-3y=8}{3x-y=8} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x - 3 y = 8 } \\ { 3 x - y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=8$$

$$y=16$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$7x-3y=8,3x-y=8$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$7x-3y=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3y ઍડ કરો.

$$7x=3y+8$$

બન્ને બાજુનો 7 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{7}\left(3y+8\right)$$

3y+8 ને \frac{1}{7} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{3}{7}y+\frac{8}{7}$$

અન્ય સમીકરણ, 3x-y=8 માં x માટે \frac{3y+8}{7} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3\left(\frac{3}{7}y+\frac{8}{7}\right)-y=8$$

\frac{3y+8}{7} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{9}{7}y+\frac{24}{7}-y=8$$

-y માં \frac{9y}{7} ઍડ કરો.

$$\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{24}{7} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{2}{7}y=\frac{32}{7}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{2}{7} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=16$$

x=\frac{3}{7}y+\frac{8}{7}માં y માટે 16 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{3}{7}\times 16+\frac{8}{7}$$

16 ને \frac{3}{7} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{48+8}{7}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{48}{7} માં \frac{8}{7} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=8$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=8,y=16$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$7x-3y=8,3x-y=8$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}7&-3\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&-3\\3&-1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-3\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{7\left(-1\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{7\left(-1\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{3}{2}&\frac{7}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 8+\frac{3}{2}\times 8\\-\frac{3}{2}\times 8+\frac{7}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=8,y=16$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$7x-3y=8,3x-y=8$$

7x અને 3x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 7 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3\times 7x+3\left(-3\right)y=3\times 8,7\times 3x+7\left(-1\right)y=7\times 8$$

સરળ બનાવો.

$$21x-9y=24,21x-7y=56$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 21x-9y=24માંથી 21x-7y=56 ને ઘટાડો.

$$21x-21x-9y+7y=24-56$$

-21x માં 21x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 21x અને -21x ને વિભાજિત કરો.

$$-9y+7y=24-56$$

7y માં -9y ઍડ કરો.

$$-2y=24-56$$

-56 માં 24 ઍડ કરો.

$$-2y=-32$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=16$$

3x-y=8માં y માટે 16 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$3x-16=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 16 ઍડ કરો.

$$3x=24$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=8$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=8,y=16$$