{l}{7x+8y=15}{9x+8y=1} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 8 y = 15 } \\ { 9 x + 8 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-7$$

$$y=8$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$7x+8y=15$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 8y નો ઘટાડો કરો.

$$7x=-8y+15$$

બન્ને બાજુનો 7 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{7}\left(-8y+15\right)$$

-8y+15 ને \frac{1}{7} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}$$

અન્ય સમીકરણ, 9x+8y=1 માં x માટે \frac{-8y+15}{7} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$9\left(-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}\right)+8y=1$$

\frac{-8y+15}{7} ને 9 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{72}{7}y+\frac{135}{7}+8y=1$$

8y માં -\frac{72y}{7} ઍડ કરો.

$$-\frac{16}{7}y+\frac{135}{7}=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{135}{7} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{16}{7}y=-\frac{128}{7}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{16}{7} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=8$$

x=-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}માં y માટે 8 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{8}{7}\times 8+\frac{15}{7}$$

8 ને -\frac{8}{7} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-64+15}{7}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{64}{7} માં \frac{15}{7} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-7$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-7,y=8$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{7\times 8-8\times 9}&-\frac{8}{7\times 8-8\times 9}\\-\frac{9}{7\times 8-8\times 9}&\frac{7}{7\times 8-8\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{9}{16}&-\frac{7}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 15+\frac{1}{2}\\\frac{9}{16}\times 15-\frac{7}{16}\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-7,y=8$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 7x+8y=15માંથી 9x+8y=1 ને ઘટાડો.

$$7x-9x+8y-8y=15-1$$

-8y માં 8y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 8y અને -8y ને વિભાજિત કરો.

$$7x-9x=15-1$$

-9x માં 7x ઍડ કરો.

$$-2x=15-1$$

-1 માં 15 ઍડ કરો.

$$-2x=14$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-7$$

9x+8y=1માં x માટે -7 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$9\left(-7\right)+8y=1$$

-7 ને 9 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-63+8y=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 63 ઍડ કરો.

$$8y=64$$

બન્ને બાજુનો 8 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=8$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-7,y=8$$