{l}{7x+5y=-16}{5x-2y=-17} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = - 16 } \\ { 5 x - 2 y = - 17 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-3$$

$$y=1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$7x+5y=-16,5x-2y=-17$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$7x+5y=-16$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 5y નો ઘટાડો કરો.

$$7x=-5y-16$$

બન્ને બાજુનો 7 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y-16\right)$$

-5y-16 ને \frac{1}{7} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{5}{7}y-\frac{16}{7}$$

અન્ય સમીકરણ, 5x-2y=-17 માં x માટે \frac{-5y-16}{7} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5\left(-\frac{5}{7}y-\frac{16}{7}\right)-2y=-17$$

\frac{-5y-16}{7} ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{25}{7}y-\frac{80}{7}-2y=-17$$

-2y માં -\frac{25y}{7} ઍડ કરો.

$$-\frac{39}{7}y-\frac{80}{7}=-17$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{80}{7} ઍડ કરો.

$$-\frac{39}{7}y=-\frac{39}{7}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{39}{7} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=1$$

x=-\frac{5}{7}y-\frac{16}{7}માં y માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{-5-16}{7}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{5}{7} માં -\frac{16}{7} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-3,y=1$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$7x+5y=-16,5x-2y=-17$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\-17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&5\\5&-2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-17\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-17\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-5\times 5}&-\frac{5}{7\left(-2\right)-5\times 5}\\-\frac{5}{7\left(-2\right)-5\times 5}&\frac{7}{7\left(-2\right)-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\-17\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\\frac{5}{39}&-\frac{7}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\-17\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{39}\left(-16\right)+\frac{5}{39}\left(-17\right)\\\frac{5}{39}\left(-16\right)-\frac{7}{39}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-3,y=1$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$7x+5y=-16,5x-2y=-17$$

7x અને 5x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 7 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$5\times 7x+5\times 5y=5\left(-16\right),7\times 5x+7\left(-2\right)y=7\left(-17\right)$$

સરળ બનાવો.

$$35x+25y=-80,35x-14y=-119$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 35x+25y=-80માંથી 35x-14y=-119 ને ઘટાડો.

$$35x-35x+25y+14y=-80+119$$

-35x માં 35x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 35x અને -35x ને વિભાજિત કરો.

$$25y+14y=-80+119$$

14y માં 25y ઍડ કરો.

$$39y=-80+119$$

119 માં -80 ઍડ કરો.

$$39y=39$$

બન્ને બાજુનો 39 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=1$$

5x-2y=-17માં y માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$5x-2=-17$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2 ઍડ કરો.

$$5x=-15$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-3,y=1$$