{l}{7x+3y=4}{2x+4y=8} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 3 y = 4 } \\ { 2 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{4}{11}\approx -0.363636364$$

$$y = \frac{24}{11} = 2\frac{2}{11} \approx 2.181818182$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$7x+3y=4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3y નો ઘટાડો કરો.

$$7x=-3y+4$$

બન્ને બાજુનો 7 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y+4\right)$$

-3y+4 ને \frac{1}{7} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}$$

અન્ય સમીકરણ, 2x+4y=8 માં x માટે \frac{-3y+4}{7} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}\right)+4y=8$$

\frac{-3y+4}{7} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{6}{7}y+\frac{8}{7}+4y=8$$

4y માં -\frac{6y}{7} ઍડ કરો.

$$\frac{22}{7}y+\frac{8}{7}=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{8}{7} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{22}{7}y=\frac{48}{7}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{22}{7} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{24}{11}$$

x=-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}માં y માટે \frac{24}{11} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{3}{7}\times \frac{24}{11}+\frac{4}{7}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{3}{7} નો \frac{24}{11} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{72}{77}+\frac{4}{7}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{72}{77} માં \frac{4}{7} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{4}{11}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7\times 4-3\times 2}&-\frac{3}{7\times 4-3\times 2}\\-\frac{2}{7\times 4-3\times 2}&\frac{7}{7\times 4-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{3}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{7}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 4-\frac{3}{22}\times 8\\-\frac{1}{11}\times 4+\frac{7}{22}\times 8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}\\\frac{24}{11}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

7x અને 2x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 7 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2\times 7x+2\times 3y=2\times 4,7\times 2x+7\times 4y=7\times 8$$

સરળ બનાવો.

$$14x+6y=8,14x+28y=56$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 14x+6y=8માંથી 14x+28y=56 ને ઘટાડો.

$$14x-14x+6y-28y=8-56$$

-14x માં 14x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 14x અને -14x ને વિભાજિત કરો.

$$6y-28y=8-56$$

-28y માં 6y ઍડ કરો.

$$-22y=8-56$$

-56 માં 8 ઍડ કરો.

$$-22y=-48$$

બન્ને બાજુનો -22 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{24}{11}$$

2x+4y=8માં y માટે \frac{24}{11} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$2x+4\times \frac{24}{11}=8$$

\frac{24}{11} ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$2x+\frac{96}{11}=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{96}{11} નો ઘટાડો કરો.

$$2x=-\frac{8}{11}$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{4}{11}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$