{l}{7w+2z=16}{5w=2z+8} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 7 w + 2 z = 16 } \\ { 5 w = 2 z + 8 } \end{array} \right.$$

w, z માટે ઉકેલો

$$z=1$$

$$w=2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 2z ઘટાડો.

$$5w-2z=8$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને w ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને w માટે ઉકેલો.

$$7w+2z=16$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2z નો ઘટાડો કરો.

$$7w=-2z+16$$

બન્ને બાજુનો 7 થી ભાગાકાર કરો.

$$w=\frac{1}{7}\left(-2z+16\right)$$

-2z+16 ને \frac{1}{7} વાર ગુણાકાર કરો.

$$w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}$$

અન્ય સમીકરણ, 5w-2z=8 માં w માટે \frac{-2z+16}{7} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5\left(-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}\right)-2z=8$$

\frac{-2z+16}{7} ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{10}{7}z+\frac{80}{7}-2z=8$$

-2z માં -\frac{10z}{7} ઍડ કરો.

$$-\frac{24}{7}z+\frac{80}{7}=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{80}{7} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{24}{7}z=-\frac{24}{7}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{24}{7} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$z=1$$

w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}માં z માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું w માટે ઉકેલો.

$$w=\frac{-2+16}{7}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{2}{7} માં \frac{16}{7} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$w=2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$w=2,z=1$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 2z ઘટાડો.

$$5w-2z=8$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}&-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{7\left(-2\right)-2\times 5}&\frac{7}{7\left(-2\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{5}{24}&-\frac{7}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 8\\\frac{5}{24}\times 16-\frac{7}{24}\times 8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો w અને z ને કાઢો.

$$w=2,z=1$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 2z ઘટાડો.

$$5w-2z=8$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

7w અને 5w ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 7 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$5\times 7w+5\times 2z=5\times 16,7\times 5w+7\left(-2\right)z=7\times 8$$

સરળ બનાવો.

$$35w+10z=80,35w-14z=56$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 35w+10z=80માંથી 35w-14z=56 ને ઘટાડો.

$$35w-35w+10z+14z=80-56$$

-35w માં 35w ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 35w અને -35w ને વિભાજિત કરો.

$$10z+14z=80-56$$

14z માં 10z ઍડ કરો.

$$24z=80-56$$

-56 માં 80 ઍડ કરો.

$$24z=24$$

બન્ને બાજુનો 24 થી ભાગાકાર કરો.

$$z=1$$

5w-2z=8માં z માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું w માટે ઉકેલો.

$$5w-2=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2 ઍડ કરો.

$$5w=10$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$w=2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$w=2,z=1$$