{l}{6x-6y=-30}{-10x+6y=22} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x - 6 y = - 30 } \\ { - 10 x + 6 y = 22 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=2$$

$$y=7$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$6x-6y=-30,-10x+6y=22$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$6x-6y=-30$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 6y ઍડ કરો.

$$6x=6y-30$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{6}\left(6y-30\right)$$

-30+6y ને \frac{1}{6} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=y-5$$

અન્ય સમીકરણ, -10x+6y=22 માં x માટે y-5 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-10\left(y-5\right)+6y=22$$

y-5 ને -10 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-10y+50+6y=22$$

6y માં -10y ઍડ કરો.

$$-4y+50=22$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 50 નો ઘટાડો કરો.

$$-4y=-28$$

બન્ને બાજુનો -4 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=7$$

x=y-5માં y માટે 7 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=7-5$$

7 માં -5 ઍડ કરો.

$$x=2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=2,y=7$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$6x-6y=-30,-10x+6y=22$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-\left(-6\left(-10\right)\right)}&-\frac{-6}{6\times 6-\left(-6\left(-10\right)\right)}\\-\frac{-10}{6\times 6-\left(-6\left(-10\right)\right)}&\frac{6}{6\times 6-\left(-6\left(-10\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{5}{12}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-30\right)-\frac{1}{4}\times 22\\-\frac{5}{12}\left(-30\right)-\frac{1}{4}\times 22\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=2,y=7$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$6x-6y=-30,-10x+6y=22$$

6x અને -10x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -10 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 6 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-10\times 6x-10\left(-6\right)y=-10\left(-30\right),6\left(-10\right)x+6\times 6y=6\times 22$$

સરળ બનાવો.

$$-60x+60y=300,-60x+36y=132$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -60x+60y=300માંથી -60x+36y=132 ને ઘટાડો.

$$-60x+60x+60y-36y=300-132$$

60x માં -60x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -60x અને 60x ને વિભાજિત કરો.

$$60y-36y=300-132$$

-36y માં 60y ઍડ કરો.

$$24y=300-132$$

-132 માં 300 ઍડ કરો.

$$24y=168$$

બન્ને બાજુનો 24 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=7$$

-10x+6y=22માં y માટે 7 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-10x+6\times 7=22$$

7 ને 6 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-10x+42=22$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 42 નો ઘટાડો કરો.

$$-10x=-20$$

બન્ને બાજુનો -10 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=2,y=7$$