{l}{6x-4y=-14}{7x-6y=-11} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x - 4 y = - 14 } \\ { 7 x - 6 y = - 11 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-5$$

$$y=-4$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$6x-4y=-14,7x-6y=-11$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$6x-4y=-14$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 4y ઍડ કરો.

$$6x=4y-14$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{6}\left(4y-14\right)$$

4y-14 ને \frac{1}{6} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{7}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, 7x-6y=-11 માં x માટે \frac{2y-7}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$7\left(\frac{2}{3}y-\frac{7}{3}\right)-6y=-11$$

\frac{2y-7}{3} ને 7 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{14}{3}y-\frac{49}{3}-6y=-11$$

-6y માં \frac{14y}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{4}{3}y-\frac{49}{3}=-11$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{49}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{4}{3}y=\frac{16}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{4}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-4$$

x=\frac{2}{3}y-\frac{7}{3}માં y માટે -4 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{2}{3}\left(-4\right)-\frac{7}{3}$$

-4 ને \frac{2}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-8-7}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{8}{3} માં -\frac{7}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-5$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-5,y=-4$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$6x-4y=-14,7x-6y=-11$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}6&-4\\7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&-4\\7&-6\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-4\\7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-4\\7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-4\\7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-4\\7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-4\\7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{6\left(-6\right)-\left(-4\times 7\right)}&-\frac{-4}{6\left(-6\right)-\left(-4\times 7\right)}\\-\frac{7}{6\left(-6\right)-\left(-4\times 7\right)}&\frac{6}{6\left(-6\right)-\left(-4\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\\\frac{7}{8}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-14\right)-\frac{1}{2}\left(-11\right)\\\frac{7}{8}\left(-14\right)-\frac{3}{4}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-5,y=-4$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$6x-4y=-14,7x-6y=-11$$

6x અને 7x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 7 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 6 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$7\times 6x+7\left(-4\right)y=7\left(-14\right),6\times 7x+6\left(-6\right)y=6\left(-11\right)$$

સરળ બનાવો.

$$42x-28y=-98,42x-36y=-66$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 42x-28y=-98માંથી 42x-36y=-66 ને ઘટાડો.

$$42x-42x-28y+36y=-98+66$$

-42x માં 42x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 42x અને -42x ને વિભાજિત કરો.

$$-28y+36y=-98+66$$

36y માં -28y ઍડ કરો.

$$8y=-98+66$$

66 માં -98 ઍડ કરો.

$$8y=-32$$

બન્ને બાજુનો 8 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-4$$

7x-6y=-11માં y માટે -4 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$7x-6\left(-4\right)=-11$$

-4 ને -6 વાર ગુણાકાર કરો.

$$7x+24=-11$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 24 નો ઘટાડો કરો.

$$7x=-35$$

બન્ને બાજુનો 7 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-5$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-5,y=-4$$