{l}{6x+y=8}{x+y=2} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + y = 8 } \\ { x + y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

$$y=\frac{4}{5}=0.8$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$6x+y=8,x+y=2$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$6x+y=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$6x=-y+8$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{6}\left(-y+8\right)$$

-y+8 ને \frac{1}{6} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{6}y+\frac{4}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, x+y=2 માં x માટે -\frac{y}{6}+\frac{4}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\frac{1}{6}y+\frac{4}{3}+y=2$$

y માં -\frac{y}{6} ઍડ કરો.

$$\frac{5}{6}y+\frac{4}{3}=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{4}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{5}{6}y=\frac{2}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{5}{6} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{4}{5}$$

x=-\frac{1}{6}y+\frac{4}{3}માં y માટે \frac{4}{5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{1}{6}\times \frac{4}{5}+\frac{4}{3}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{1}{6} નો \frac{4}{5} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{2}{15}+\frac{4}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{2}{15} માં \frac{4}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{6}{5}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{4}{5}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$6x+y=8,x+y=2$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}6&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&1\\1&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-1}&-\frac{1}{6-1}\\-\frac{1}{6-1}&\frac{6}{6-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{6}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 8-\frac{1}{5}\times 2\\-\frac{1}{5}\times 8+\frac{6}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{4}{5}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$6x+y=8,x+y=2$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 6x+y=8માંથી x+y=2 ને ઘટાડો.

$$6x-x+y-y=8-2$$

-y માં y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો y અને -y ને વિભાજિત કરો.

$$6x-x=8-2$$

-x માં 6x ઍડ કરો.

$$5x=8-2$$

-2 માં 8 ઍડ કરો.

$$5x=6$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{6}{5}$$

x+y=2માં x માટે \frac{6}{5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$\frac{6}{5}+y=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{6}{5} નો ઘટાડો કરો.

$$y=\frac{4}{5}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{4}{5}$$