{l}{6x+5y=74}{-7x+2y=-8} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 74 } \\ { - 7 x + 2 y = - 8 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=4$$

$$y=10$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$6x+5y=74,-7x+2y=-8$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$6x+5y=74$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 5y નો ઘટાડો કરો.

$$6x=-5y+74$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+74\right)$$

-5y+74 ને \frac{1}{6} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{37}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, -7x+2y=-8 માં x માટે -\frac{5y}{6}+\frac{37}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-7\left(-\frac{5}{6}y+\frac{37}{3}\right)+2y=-8$$

-\frac{5y}{6}+\frac{37}{3} ને -7 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{35}{6}y-\frac{259}{3}+2y=-8$$

2y માં \frac{35y}{6} ઍડ કરો.

$$\frac{47}{6}y-\frac{259}{3}=-8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{259}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{47}{6}y=\frac{235}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{47}{6} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=10$$

x=-\frac{5}{6}y+\frac{37}{3}માં y માટે 10 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{5}{6}\times 10+\frac{37}{3}$$

10 ને -\frac{5}{6} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-25+37}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{25}{3} માં \frac{37}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=4,y=10$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$6x+5y=74,-7x+2y=-8$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}74\\-8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\-8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\-8\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{6\times 2-5\left(-7\right)}&-\frac{5}{6\times 2-5\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{6\times 2-5\left(-7\right)}&\frac{6}{6\times 2-5\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\-8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{47}&-\frac{5}{47}\\\frac{7}{47}&\frac{6}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\-8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{47}\times 74-\frac{5}{47}\left(-8\right)\\\frac{7}{47}\times 74+\frac{6}{47}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=4,y=10$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$6x+5y=74,-7x+2y=-8$$

6x અને -7x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -7 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 6 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-7\times 6x-7\times 5y=-7\times 74,6\left(-7\right)x+6\times 2y=6\left(-8\right)$$

સરળ બનાવો.

$$-42x-35y=-518,-42x+12y=-48$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -42x-35y=-518માંથી -42x+12y=-48 ને ઘટાડો.

$$-42x+42x-35y-12y=-518+48$$

42x માં -42x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -42x અને 42x ને વિભાજિત કરો.

$$-35y-12y=-518+48$$

-12y માં -35y ઍડ કરો.

$$-47y=-518+48$$

48 માં -518 ઍડ કરો.

$$-47y=-470$$

બન્ને બાજુનો -47 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=10$$

-7x+2y=-8માં y માટે 10 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-7x+2\times 10=-8$$

10 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-7x+20=-8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 20 નો ઘટાડો કરો.

$$-7x=-28$$

બન્ને બાજુનો -7 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=4,y=10$$