{l}{50x+3y=1}{2x-4y=5} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 50 x + 3 y = 1 } \\ { 2 x - 4 y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=\frac{19}{206}\approx 0.09223301$$

$$y = -\frac{124}{103} = -1\frac{21}{103} \approx -1.203883495$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$50x+3y=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3y નો ઘટાડો કરો.

$$50x=-3y+1$$

બન્ને બાજુનો 50 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{50}\left(-3y+1\right)$$

-3y+1 ને \frac{1}{50} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50}$$

અન્ય સમીકરણ, 2x-4y=5 માં x માટે \frac{-3y+1}{50} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50}\right)-4y=5$$

\frac{-3y+1}{50} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{3}{25}y+\frac{1}{25}-4y=5$$

-4y માં -\frac{3y}{25} ઍડ કરો.

$$-\frac{103}{25}y+\frac{1}{25}=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{1}{25} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{103}{25}y=\frac{124}{25}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{103}{25} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-\frac{124}{103}$$

x=-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50}માં y માટે -\frac{124}{103} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{3}{50}\left(-\frac{124}{103}\right)+\frac{1}{50}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{3}{50} નો -\frac{124}{103} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{186}{2575}+\frac{1}{50}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{186}{2575} માં \frac{1}{50} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{19}{206}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{50\left(-4\right)-3\times 2}&-\frac{3}{50\left(-4\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{50\left(-4\right)-3\times 2}&\frac{50}{50\left(-4\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{103}&\frac{3}{206}\\\frac{1}{103}&-\frac{25}{103}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{103}+\frac{3}{206}\times 5\\\frac{1}{103}-\frac{25}{103}\times 5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{206}\\-\frac{124}{103}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

50x અને 2x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 50 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2\times 50x+2\times 3y=2,50\times 2x+50\left(-4\right)y=50\times 5$$

સરળ બનાવો.

$$100x+6y=2,100x-200y=250$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 100x+6y=2માંથી 100x-200y=250 ને ઘટાડો.

$$100x-100x+6y+200y=2-250$$

-100x માં 100x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 100x અને -100x ને વિભાજિત કરો.

$$6y+200y=2-250$$

200y માં 6y ઍડ કરો.

$$206y=2-250$$

-250 માં 2 ઍડ કરો.

$$206y=-248$$

બન્ને બાજુનો 206 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{124}{103}$$

2x-4y=5માં y માટે -\frac{124}{103} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$2x-4\left(-\frac{124}{103}\right)=5$$

-\frac{124}{103} ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$2x+\frac{496}{103}=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{496}{103} નો ઘટાડો કરો.

$$2x=\frac{19}{103}$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{19}{206}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$