{l}{5y+3=9x}{4x-2=1y} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 5 y + 3 = 9 x } \\ { 4 x - 2 = 1 y } \end{array} \right.$$

y, x માટે ઉકેલો

$$x=\frac{7}{11}\approx 0.636363636$$

$$y=\frac{6}{11}\approx 0.545454545$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 9x ઘટાડો.

$$5y+3-9x=0$$

બન્ને બાજુથી 3 ઘટાડો. કંઈપણને શૂન્યમાંથી બાદ કરવાથી તેનું નકારાત્મક આપે છે.

$$5y-9x=-3$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 1y ઘટાડો.

$$4x-2-y=0$$

બંને સાઇડ્સ માટે 2 ઍડ કરો. કંઈપણ વત્તા શૂન્ય સ્વયંને આપે છે.

$$4x-y=2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5y-9x=-3,-y+4x=2$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને y ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને y માટે ઉકેલો.

$$5y-9x=-3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 9x ઍડ કરો.

$$5y=9x-3$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{1}{5}\left(9x-3\right)$$

9x-3 ને \frac{1}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{9}{5}x-\frac{3}{5}$$

અન્ય સમીકરણ, -y+4x=2 માં y માટે \frac{9x-3}{5} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\left(\frac{9}{5}x-\frac{3}{5}\right)+4x=2$$

\frac{9x-3}{5} ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{9}{5}x+\frac{3}{5}+4x=2$$

4x માં -\frac{9x}{5} ઍડ કરો.

$$\frac{11}{5}x+\frac{3}{5}=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{3}{5} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{11}{5}x=\frac{7}{5}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{11}{5} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x=\frac{7}{11}$$

y=\frac{9}{5}x-\frac{3}{5}માં x માટે \frac{7}{11} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=\frac{9}{5}\times \frac{7}{11}-\frac{3}{5}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{9}{5} નો \frac{7}{11} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$y=\frac{63}{55}-\frac{3}{5}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{63}{55} માં -\frac{3}{5} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$y=\frac{6}{11}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=\frac{6}{11},x=\frac{7}{11}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 9x ઘટાડો.

$$5y+3-9x=0$$

બન્ને બાજુથી 3 ઘટાડો. કંઈપણને શૂન્યમાંથી બાદ કરવાથી તેનું નકારાત્મક આપે છે.

$$5y-9x=-3$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 1y ઘટાડો.

$$4x-2-y=0$$

બંને સાઇડ્સ માટે 2 ઍડ કરો. કંઈપણ વત્તા શૂન્ય સ્વયંને આપે છે.

$$4x-y=2$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$5y-9x=-3,-y+4x=2$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}5&-9\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-9\\-1&4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-9\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-9\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-9\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-9\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-9\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-9\left(-1\right)\right)}&-\frac{-9}{5\times 4-\left(-9\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 4-\left(-9\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-9\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&\frac{9}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\left(-3\right)+\frac{9}{11}\times 2\\\frac{1}{11}\left(-3\right)+\frac{5}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}\\\frac{7}{11}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=\frac{6}{11},x=\frac{7}{11}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 9x ઘટાડો.

$$5y+3-9x=0$$

બન્ને બાજુથી 3 ઘટાડો. કંઈપણને શૂન્યમાંથી બાદ કરવાથી તેનું નકારાત્મક આપે છે.

$$5y-9x=-3$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 1y ઘટાડો.

$$4x-2-y=0$$

બંને સાઇડ્સ માટે 2 ઍડ કરો. કંઈપણ વત્તા શૂન્ય સ્વયંને આપે છે.

$$4x-y=2$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$5y-9x=-3,-y+4x=2$$

5y અને -y ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-5y-\left(-9x\right)=-\left(-3\right),5\left(-1\right)y+5\times 4x=5\times 2$$

સરળ બનાવો.

$$-5y+9x=3,-5y+20x=10$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -5y+9x=3માંથી -5y+20x=10 ને ઘટાડો.

$$-5y+5y+9x-20x=3-10$$

5y માં -5y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -5y અને 5y ને વિભાજિત કરો.

$$9x-20x=3-10$$

-20x માં 9x ઍડ કરો.

$$-11x=3-10$$

-10 માં 3 ઍડ કરો.

$$-11x=-7$$

બન્ને બાજુનો -11 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{7}{11}$$

-y+4x=2માં x માટે \frac{7}{11} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$-y+4\times \frac{7}{11}=2$$

\frac{7}{11} ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-y+\frac{28}{11}=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{28}{11} નો ઘટાડો કરો.

$$-y=-\frac{6}{11}$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{6}{11}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=\frac{6}{11},x=\frac{7}{11}$$