{l}{5x-3y=2}{6x+2y=-5} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 2 } \\ { 6 x + 2 y = - 5 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{11}{28}\approx -0.392857143$$

$$y = -\frac{37}{28} = -1\frac{9}{28} \approx -1.321428571$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$5x-3y=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3y ઍડ કરો.

$$5x=3y+2$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+2\right)$$

3y+2 ને \frac{1}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

અન્ય સમીકરણ, 6x+2y=-5 માં x માટે \frac{3y+2}{5} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$6\left(\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+2y=-5$$

\frac{3y+2}{5} ને 6 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{18}{5}y+\frac{12}{5}+2y=-5$$

2y માં \frac{18y}{5} ઍડ કરો.

$$\frac{28}{5}y+\frac{12}{5}=-5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{12}{5} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{28}{5}y=-\frac{37}{5}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{28}{5} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-\frac{37}{28}$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}માં y માટે -\frac{37}{28} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{37}{28}\right)+\frac{2}{5}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{3}{5} નો -\frac{37}{28} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{111}{140}+\frac{2}{5}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{111}{140} માં \frac{2}{5} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{11}{28}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{28}\\-\frac{3}{14}&\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 2+\frac{3}{28}\left(-5\right)\\-\frac{3}{14}\times 2+\frac{5}{28}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{28}\\-\frac{37}{28}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

5x અને 6x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 6 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$6\times 5x+6\left(-3\right)y=6\times 2,5\times 6x+5\times 2y=5\left(-5\right)$$

સરળ બનાવો.

$$30x-18y=12,30x+10y=-25$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 30x-18y=12માંથી 30x+10y=-25 ને ઘટાડો.

$$30x-30x-18y-10y=12+25$$

-30x માં 30x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 30x અને -30x ને વિભાજિત કરો.

$$-18y-10y=12+25$$

-10y માં -18y ઍડ કરો.

$$-28y=12+25$$

25 માં 12 ઍડ કરો.

$$-28y=37$$

બન્ને બાજુનો -28 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{37}{28}$$

6x+2y=-5માં y માટે -\frac{37}{28} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$6x+2\left(-\frac{37}{28}\right)=-5$$

-\frac{37}{28} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$6x-\frac{37}{14}=-5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{37}{14} ઍડ કરો.

$$6x=-\frac{33}{14}$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{11}{28}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$