{l}{5x=4y-2}{5y+1=x} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 4 y - 2 } \\ { 5 y + 1 = x } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 4y ઘટાડો.

$$5x-4y=-2$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$5y+1-x=0$$

બન્ને બાજુથી 1 ઘટાડો. કંઈપણને શૂન્યમાંથી બાદ કરવાથી તેનું નકારાત્મક આપે છે.

$$5y-x=-1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5x-4y=-2,-x+5y=-1$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$5x-4y=-2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 4y ઍડ કરો.

$$5x=4y-2$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-2\right)$$

4y-2 ને \frac{1}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{2}{5}$$

અન્ય સમીકરણ, -x+5y=-1 માં x માટે \frac{4y-2}{5} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\left(\frac{4}{5}y-\frac{2}{5}\right)+5y=-1$$

\frac{4y-2}{5} ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{4}{5}y+\frac{2}{5}+5y=-1$$

5y માં -\frac{4y}{5} ઍડ કરો.

$$\frac{21}{5}y+\frac{2}{5}=-1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{2}{5} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{21}{5}y=-\frac{7}{5}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{21}{5} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-\frac{1}{3}$$

x=\frac{4}{5}y-\frac{2}{5}માં y માટે -\frac{1}{3} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{4}{5}\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{5}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{4}{5} નો -\frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{4}{15}-\frac{2}{5}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{4}{15} માં -\frac{2}{5} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{2}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 4y ઘટાડો.

$$5x-4y=-2$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$5y+1-x=0$$

બન્ને બાજુથી 1 ઘટાડો. કંઈપણને શૂન્યમાંથી બાદ કરવાથી તેનું નકારાત્મક આપે છે.

$$5y-x=-1$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$5x-4y=-2,-x+5y=-1$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&\frac{4}{21}\\\frac{1}{21}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\left(-2\right)+\frac{4}{21}\left(-1\right)\\\frac{1}{21}\left(-2\right)+\frac{5}{21}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 4y ઘટાડો.

$$5x-4y=-2$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$5y+1-x=0$$

બન્ને બાજુથી 1 ઘટાડો. કંઈપણને શૂન્યમાંથી બાદ કરવાથી તેનું નકારાત્મક આપે છે.

$$5y-x=-1$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$5x-4y=-2,-x+5y=-1$$

5x અને -x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-5x-\left(-4y\right)=-\left(-2\right),5\left(-1\right)x+5\times 5y=5\left(-1\right)$$

સરળ બનાવો.

$$-5x+4y=2,-5x+25y=-5$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -5x+4y=2માંથી -5x+25y=-5 ને ઘટાડો.

$$-5x+5x+4y-25y=2+5$$

5x માં -5x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -5x અને 5x ને વિભાજિત કરો.

$$4y-25y=2+5$$

-25y માં 4y ઍડ કરો.

$$-21y=2+5$$

5 માં 2 ઍડ કરો.

$$-21y=7$$

બન્ને બાજુનો -21 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{1}{3}$$

-x+5y=-1માં y માટે -\frac{1}{3} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-x+5\left(-\frac{1}{3}\right)=-1$$

-\frac{1}{3} ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-x-\frac{5}{3}=-1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{5}{3} ઍડ કરો.

$$-x=\frac{2}{3}$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{2}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$