{l}{5x+y=-1}{2x+5y=7} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = - 1 } \\ { 2 x + 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{12}{23}\approx -0.52173913$$

$$y = \frac{37}{23} = 1\frac{14}{23} \approx 1.608695652$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5x+y=-1,2x+5y=7$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$5x+y=-1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$5x=-y-1$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y-1\right)$$

-y-1 ને \frac{1}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}$$

અન્ય સમીકરણ, 2x+5y=7 માં x માટે \frac{-y-1}{5} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}\right)+5y=7$$

\frac{-y-1}{5} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{2}{5}y-\frac{2}{5}+5y=7$$

5y માં -\frac{2y}{5} ઍડ કરો.

$$\frac{23}{5}y-\frac{2}{5}=7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{2}{5} ઍડ કરો.

$$\frac{23}{5}y=\frac{37}{5}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{23}{5} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{37}{23}$$

x=-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}માં y માટે \frac{37}{23} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{37}{23}-\frac{1}{5}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{1}{5} નો \frac{37}{23} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{37}{115}-\frac{1}{5}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{37}{115} માં -\frac{1}{5} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{12}{23}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{12}{23},y=\frac{37}{23}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$5x+y=-1,2x+5y=7$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-2}&-\frac{1}{5\times 5-2}\\-\frac{2}{5\times 5-2}&\frac{5}{5\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&-\frac{1}{23}\\-\frac{2}{23}&\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\left(-1\right)-\frac{1}{23}\times 7\\-\frac{2}{23}\left(-1\right)+\frac{5}{23}\times 7\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{23}\\\frac{37}{23}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{12}{23},y=\frac{37}{23}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$5x+y=-1,2x+5y=7$$

5x અને 2x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2\times 5x+2y=2\left(-1\right),5\times 2x+5\times 5y=5\times 7$$

સરળ બનાવો.

$$10x+2y=-2,10x+25y=35$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 10x+2y=-2માંથી 10x+25y=35 ને ઘટાડો.

$$10x-10x+2y-25y=-2-35$$

-10x માં 10x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 10x અને -10x ને વિભાજિત કરો.

$$2y-25y=-2-35$$

-25y માં 2y ઍડ કરો.

$$-23y=-2-35$$

-35 માં -2 ઍડ કરો.

$$-23y=-37$$

બન્ને બાજુનો -23 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{37}{23}$$

2x+5y=7માં y માટે \frac{37}{23} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$2x+5\times \frac{37}{23}=7$$

\frac{37}{23} ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$2x+\frac{185}{23}=7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{185}{23} નો ઘટાડો કરો.

$$2x=-\frac{24}{23}$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{12}{23}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{12}{23},y=\frac{37}{23}$$