{l}{5x+7y=7}{3x+2y=11} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 7 } \\ { 3 x + 2 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{63}{11} = 5\frac{8}{11} \approx 5.727272727$$

$$y = -\frac{34}{11} = -3\frac{1}{11} \approx -3.090909091$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5x+7y=7,3x+2y=11$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$5x+7y=7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 7y નો ઘટાડો કરો.

$$5x=-7y+7$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+7\right)$$

-7y+7 ને \frac{1}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{7}{5}y+\frac{7}{5}$$

અન્ય સમીકરણ, 3x+2y=11 માં x માટે \frac{-7y+7}{5} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3\left(-\frac{7}{5}y+\frac{7}{5}\right)+2y=11$$

\frac{-7y+7}{5} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{21}{5}y+\frac{21}{5}+2y=11$$

2y માં -\frac{21y}{5} ઍડ કરો.

$$-\frac{11}{5}y+\frac{21}{5}=11$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{21}{5} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{11}{5}y=\frac{34}{5}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{11}{5} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-\frac{34}{11}$$

x=-\frac{7}{5}y+\frac{7}{5}માં y માટે -\frac{34}{11} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{7}{5}\left(-\frac{34}{11}\right)+\frac{7}{5}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{7}{5} નો -\frac{34}{11} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{238}{55}+\frac{7}{5}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{238}{55} માં \frac{7}{5} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{63}{11}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{63}{11},y=-\frac{34}{11}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$5x+7y=7,3x+2y=11$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-7\times 3}&-\frac{7}{5\times 2-7\times 3}\\-\frac{3}{5\times 2-7\times 3}&\frac{5}{5\times 2-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&\frac{7}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\times 7+\frac{7}{11}\times 11\\\frac{3}{11}\times 7-\frac{5}{11}\times 11\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{11}\\-\frac{34}{11}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{63}{11},y=-\frac{34}{11}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$5x+7y=7,3x+2y=11$$

5x અને 3x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3\times 5x+3\times 7y=3\times 7,5\times 3x+5\times 2y=5\times 11$$

સરળ બનાવો.

$$15x+21y=21,15x+10y=55$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 15x+21y=21માંથી 15x+10y=55 ને ઘટાડો.

$$15x-15x+21y-10y=21-55$$

-15x માં 15x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 15x અને -15x ને વિભાજિત કરો.

$$21y-10y=21-55$$

-10y માં 21y ઍડ કરો.

$$11y=21-55$$

-55 માં 21 ઍડ કરો.

$$11y=-34$$

બન્ને બાજુનો 11 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{34}{11}$$

3x+2y=11માં y માટે -\frac{34}{11} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$3x+2\left(-\frac{34}{11}\right)=11$$

-\frac{34}{11} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$3x-\frac{68}{11}=11$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{68}{11} ઍડ કરો.

$$3x=\frac{189}{11}$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{63}{11}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{63}{11},y=-\frac{34}{11}$$