{l}{5x+6y=121}{6x+5y=121} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 6 y = 121 } \\ { 6 x + 5 y = 121 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=11$$

$$y=11$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5x+6y=121,6x+5y=121$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$5x+6y=121$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 6y નો ઘટાડો કરો.

$$5x=-6y+121$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{5}\left(-6y+121\right)$$

-6y+121 ને \frac{1}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{6}{5}y+\frac{121}{5}$$

અન્ય સમીકરણ, 6x+5y=121 માં x માટે \frac{-6y+121}{5} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$6\left(-\frac{6}{5}y+\frac{121}{5}\right)+5y=121$$

\frac{-6y+121}{5} ને 6 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{36}{5}y+\frac{726}{5}+5y=121$$

5y માં -\frac{36y}{5} ઍડ કરો.

$$-\frac{11}{5}y+\frac{726}{5}=121$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{726}{5} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{11}{5}y=-\frac{121}{5}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{11}{5} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=11$$

x=-\frac{6}{5}y+\frac{121}{5}માં y માટે 11 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{6}{5}\times 11+\frac{121}{5}$$

11 ને -\frac{6}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-66+121}{5}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{66}{5} માં \frac{121}{5} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=11$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=11,y=11$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$5x+6y=121,6x+5y=121$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}5&6\\6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}121\\121\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&6\\6&5\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}121\\121\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}121\\121\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}121\\121\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-6\times 6}&-\frac{6}{5\times 5-6\times 6}\\-\frac{6}{5\times 5-6\times 6}&\frac{5}{5\times 5-6\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}121\\121\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}&\frac{6}{11}\\\frac{6}{11}&-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}121\\121\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}\times 121+\frac{6}{11}\times 121\\\frac{6}{11}\times 121-\frac{5}{11}\times 121\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=11,y=11$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$5x+6y=121,6x+5y=121$$

5x અને 6x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 6 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$6\times 5x+6\times 6y=6\times 121,5\times 6x+5\times 5y=5\times 121$$

સરળ બનાવો.

$$30x+36y=726,30x+25y=605$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 30x+36y=726માંથી 30x+25y=605 ને ઘટાડો.

$$30x-30x+36y-25y=726-605$$

-30x માં 30x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 30x અને -30x ને વિભાજિત કરો.

$$36y-25y=726-605$$

-25y માં 36y ઍડ કરો.

$$11y=726-605$$

-605 માં 726 ઍડ કરો.

$$11y=121$$

બન્ને બાજુનો 11 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=11$$

6x+5y=121માં y માટે 11 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$6x+5\times 11=121$$

11 ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$6x+55=121$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 55 નો ઘટાડો કરો.

$$6x=66$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=11$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=11,y=11$$