{l}{5x+3y=450.000}{3x+4y=913.000} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 450.000 } \\ { 3 x + 4 y = 913.000 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = -\frac{939}{11} = -85\frac{4}{11} \approx -85.363636364$$

$$y = \frac{3215}{11} = 292\frac{3}{11} \approx 292.272727273$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5x+3y=450,3x+4y=913$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$5x+3y=450$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3y નો ઘટાડો કરો.

$$5x=-3y+450$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+450\right)$$

-3y+450 ને \frac{1}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{3}{5}y+90$$

અન્ય સમીકરણ, 3x+4y=913 માં x માટે -\frac{3y}{5}+90 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3\left(-\frac{3}{5}y+90\right)+4y=913$$

-\frac{3y}{5}+90 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{9}{5}y+270+4y=913$$

4y માં -\frac{9y}{5} ઍડ કરો.

$$\frac{11}{5}y+270=913$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 270 નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{11}{5}y=643$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{11}{5} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{3215}{11}$$

x=-\frac{3}{5}y+90માં y માટે \frac{3215}{11} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{3215}{11}+90$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{3}{5} નો \frac{3215}{11} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{1929}{11}+90$$

-\frac{1929}{11} માં 90 ઍડ કરો.

$$x=-\frac{939}{11}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{939}{11},y=\frac{3215}{11}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$5x+3y=450,3x+4y=913$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}450\\913\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\913\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\913\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\913\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}&\frac{5}{5\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\913\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\913\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 450-\frac{3}{11}\times 913\\-\frac{3}{11}\times 450+\frac{5}{11}\times 913\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{939}{11}\\\frac{3215}{11}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{939}{11},y=\frac{3215}{11}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$5x+3y=450,3x+4y=913$$

5x અને 3x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3\times 5x+3\times 3y=3\times 450,5\times 3x+5\times 4y=5\times 913$$

સરળ બનાવો.

$$15x+9y=1350,15x+20y=4565$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 15x+9y=1350માંથી 15x+20y=4565 ને ઘટાડો.

$$15x-15x+9y-20y=1350-4565$$

-15x માં 15x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 15x અને -15x ને વિભાજિત કરો.

$$9y-20y=1350-4565$$

-20y માં 9y ઍડ કરો.

$$-11y=1350-4565$$

-4565 માં 1350 ઍડ કરો.

$$-11y=-3215$$

બન્ને બાજુનો -11 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{3215}{11}$$

3x+4y=913માં y માટે \frac{3215}{11} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$3x+4\times \frac{3215}{11}=913$$

\frac{3215}{11} ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$3x+\frac{12860}{11}=913$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{12860}{11} નો ઘટાડો કરો.

$$3x=-\frac{2817}{11}$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{939}{11}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{939}{11},y=\frac{3215}{11}$$