{l}{5^1x+0.3y=5}{x+1/8y=7} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 5 ^ { 1 } x + 0.3 y = 5 } \\ { x + \frac { 1 } { 8 } y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = -\frac{59}{13} = -4\frac{7}{13} \approx -4.538461538$$

$$y = \frac{1200}{13} = 92\frac{4}{13} \approx 92.307692308$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5x+0.3y=5,x+\frac{1}{8}y=7$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$5x+0.3y=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{3y}{10} નો ઘટાડો કરો.

$$5x=-0.3y+5$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{5}\left(-0.3y+5\right)$$

-\frac{3y}{10}+5 ને \frac{1}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{3}{50}y+1$$

અન્ય સમીકરણ, x+\frac{1}{8}y=7 માં x માટે -\frac{3y}{50}+1 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\frac{3}{50}y+1+\frac{1}{8}y=7$$

\frac{y}{8} માં -\frac{3y}{50} ઍડ કરો.

$$\frac{13}{200}y+1=7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 1 નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{13}{200}y=6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{13}{200} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{1200}{13}$$

x=-\frac{3}{50}y+1માં y માટે \frac{1200}{13} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{3}{50}\times \frac{1200}{13}+1$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{3}{50} નો \frac{1200}{13} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{72}{13}+1$$

-\frac{72}{13} માં 1 ઍડ કરો.

$$x=-\frac{59}{13}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{59}{13},y=\frac{1200}{13}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$5x+0.3y=5,x+\frac{1}{8}y=7$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}5&0.3\\1&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&0.3\\1&\frac{1}{8}\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&0.3\\1&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&0.3\\1&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&0.3\\1&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&0.3\\1&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&0.3\\1&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{8}}{5\times \frac{1}{8}-0.3}&-\frac{0.3}{5\times \frac{1}{8}-0.3}\\-\frac{1}{5\times \frac{1}{8}-0.3}&\frac{5}{5\times \frac{1}{8}-0.3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&-\frac{12}{13}\\-\frac{40}{13}&\frac{200}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\times 5-\frac{12}{13}\times 7\\-\frac{40}{13}\times 5+\frac{200}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{59}{13}\\\frac{1200}{13}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{59}{13},y=\frac{1200}{13}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$5x+0.3y=5,x+\frac{1}{8}y=7$$

5x અને x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$5x+0.3y=5,5x+5\times \frac{1}{8}y=5\times 7$$

સરળ બનાવો.

$$5x+0.3y=5,5x+\frac{5}{8}y=35$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 5x+0.3y=5માંથી 5x+\frac{5}{8}y=35 ને ઘટાડો.

$$5x-5x+0.3y-\frac{5}{8}y=5-35$$

-5x માં 5x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 5x અને -5x ને વિભાજિત કરો.

$$0.3y-\frac{5}{8}y=5-35$$

-\frac{5y}{8} માં \frac{3y}{10} ઍડ કરો.

$$-\frac{13}{40}y=5-35$$

-35 માં 5 ઍડ કરો.

$$-\frac{13}{40}y=-30$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{13}{40} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{1200}{13}$$

x+\frac{1}{8}y=7માં y માટે \frac{1200}{13} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x+\frac{1}{8}\times \frac{1200}{13}=7$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{1}{8} નો \frac{1200}{13} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x+\frac{150}{13}=7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{150}{13} નો ઘટાડો કરો.

$$x=-\frac{59}{13}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{59}{13},y=\frac{1200}{13}$$