{l}{400-3x+5y=17}{5x+4y=400} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 400 - 3 x + 5 y = 17 } \\ { 5 x + 4 y = 400 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{3532}{37} = 95\frac{17}{37} \approx 95.459459459$$

$$y = -\frac{715}{37} = -19\frac{12}{37} \approx -19.324324324$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-3x+5y+400=17,5x+4y=400$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$-3x+5y+400=17$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 400 નો ઘટાડો કરો.

$$-3x+5y=-383$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 5y નો ઘટાડો કરો.

$$-3x=-5y-383$$

બન્ને બાજુનો -3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-5y-383\right)$$

-5y-383 ને -\frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{383}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, 5x+4y=400 માં x માટે \frac{5y+383}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5\left(\frac{5}{3}y+\frac{383}{3}\right)+4y=400$$

\frac{5y+383}{3} ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{25}{3}y+\frac{1915}{3}+4y=400$$

4y માં \frac{25y}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{37}{3}y+\frac{1915}{3}=400$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{1915}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{37}{3}y=-\frac{715}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{37}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-\frac{715}{37}$$

x=\frac{5}{3}y+\frac{383}{3}માં y માટે -\frac{715}{37} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{715}{37}\right)+\frac{383}{3}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{5}{3} નો -\frac{715}{37} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{3575}{111}+\frac{383}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{3575}{111} માં \frac{383}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{3532}{37}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{3532}{37},y=-\frac{715}{37}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-3x+5y+400=17,5x+4y=400$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-3&5\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-383\\400\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-3&5\\5&4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&5\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-383\\400\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-383\\400\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-383\\400\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-3\times 4-5\times 5}&-\frac{5}{-3\times 4-5\times 5}\\-\frac{5}{-3\times 4-5\times 5}&-\frac{3}{-3\times 4-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-383\\400\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{37}&\frac{5}{37}\\\frac{5}{37}&\frac{3}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-383\\400\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{37}\left(-383\right)+\frac{5}{37}\times 400\\\frac{5}{37}\left(-383\right)+\frac{3}{37}\times 400\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3532}{37}\\-\frac{715}{37}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{3532}{37},y=-\frac{715}{37}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-3x+5y+400=17,5x+4y=400$$

-3x અને 5x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો -3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$5\left(-3\right)x+5\times 5y+5\times 400=5\times 17,-3\times 5x-3\times 4y=-3\times 400$$

સરળ બનાવો.

$$-15x+25y+2000=85,-15x-12y=-1200$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -15x+25y+2000=85માંથી -15x-12y=-1200 ને ઘટાડો.

$$-15x+15x+25y+12y+2000=85+1200$$

15x માં -15x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -15x અને 15x ને વિભાજિત કરો.

$$25y+12y+2000=85+1200$$

12y માં 25y ઍડ કરો.

$$37y+2000=85+1200$$

1200 માં 85 ઍડ કરો.

$$37y+2000=1285$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2000 નો ઘટાડો કરો.

$$37y=-715$$

બન્ને બાજુનો 37 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{715}{37}$$

5x+4y=400માં y માટે -\frac{715}{37} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$5x+4\left(-\frac{715}{37}\right)=400$$

-\frac{715}{37} ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$5x-\frac{2860}{37}=400$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{2860}{37} ઍડ કરો.

$$5x=\frac{17660}{37}$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{3532}{37}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{3532}{37},y=-\frac{715}{37}$$